Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Если ? — постоянная величина, а / = 1, то из уравнения (298) следует
R = Q. (303)
Из уравнения (291) получаем
V=Q- dWIdr*. (304)
В качестве двух других уравнений возьмем уравнения (299) и (300), которые теперь принимают вид
(r4Q/A2) V + = К — 2io? = const = х. (306)
Полагая
F = rsQ/A2, (307)
190
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
перепишем уравнения (305) и (306):
w=4- (-?- р)« w
FV-і- f>W = F(Q-JjJL) -f?№ = x. (309)
Исключая из этих уравнений U^, получаем уравнение
«-'-?(-r-&--$-)+-H?-i>)-«- <3|0>
которое после упрощений принимает следующий вид:
1 / df \2 d2F , A2 r2 ?2 , /Q1 n
Функция F предполагается заданной, поэтому уравнение (311) представляет необходимое и достаточное условие того, что уравнения, описывающие преобразования, совместны с требованиями (302), т. е. должны существовать такие постоянные ? и к, что уравнение (311) удовлетворяется заданной функцией Q = A2FIr8. Поскольку ? входит в уравнение (311) только в виде ?2, возможны два преобразования, удовлетворяющие этому уравнению, именно преобразования, соответствующие +? и —?. Мы будем называть эти преобразования дуальными, и они, как мы сейчас убедимся, приводят прямо к уравнениям, описывающим аксиальные и полярные возмущения.
Будем отличать преобразования, соответствующие +? и —?, верхними индексами (+). Имеем
^(±>=T(-?r + ?)' <312>
K(±) = Q_i^i. (313)
Переписывая последнее уравнение в виде
^-?-?(4--^4-)« (ЗМ)
получаем с помощью уравнения (310) Полагая
/ = F-1, (316)
получаем следующую формулу:
v^i?-ar + F/8 + */. (317)
30. Теория преобразований
191
Выпищем в явном виде искомые преобразования: Y - y.<±>Z<±> + (И?<±> f 2ш) A+Z<±>, Л_7 - =F? (А2/л8) Z<+> + QA+Z<±>; (318)
#<±>Z<±> - (r8/A2) [QF - (ї^<±) + 2іо) Л_Г], /C(±)A+Z<±) - ± ?r + (г8/А2) V<±>A_K, (319)
где
/С(±> = и ± 2io?. (320)
Наконец, отметим, что с помощью соотношений (318) и (319) мы можем найти связь между Z(+) и Z(-). Действительно, пусть Z(-) есть решение волнового уравнения с потенциалом У<-). Можно с помощью первого из уравнений (319) выразить его через Y и AJY1 а затем выразить эти функции через Z(+) и A+Z(+) с помощью уравнений (318). Действуя таким образом, получим соот-^ ношение
(A2/r8) /C<->Z<-> =--. QY - (№<-> + 2ш) Л__Г =
--- Q [K<+>Z<+> + (W<+> H- 2/а) A+Z<+>] -
- (№<-> -(- 2ш) [— р (A2/r8) Z<+> ~f- QA+ZW], (321)
которое после некоторой перегруппировки членов принимает вид
/(<->Z<-> = [(/-8/А2) QV<+> + ? (№<+> + 2ia) +
-f ? (№(-) — №(+>)] Z<+> + F (№<+> - №<->) A+Z<+>. (322)
Выражение в правой части уравнения (322) можно упростить, используя уравнения (306), (312), (316) и (320):
(х - 2ia?) Z(-) = (х + 2?2/) ZW - 2? . (323)
Это соотношение можно обратить:
(к + 2ia?) Z<+> = (x + 2Ff) Z<-> + 2? ^. "(324)
Мы*снова пришли к соотношениям (150) и (151), полученным выше путем прямого преобразования, связывающего решения уравнений (136) и (137).
б. Проверка уравнения для F и определение значений х ru ?2. В рассматриваемом случае функция Q определяется уравнением (265), поэтому
F = (г8/A2) Q = (г3/A) (jiV + 6M) = 1//. (325)
Покажем прямой проверкой, что функция F удовлетворяет уравнению (311) при определенных значениях ?2 и х. Подставляя функцию F в левую часть уравнения (311), находим
-'[-ИЧ-Н-ь')-•?']-
= и2 (и2 + 2) + 36УИ2А/г3 (ц8г + 6M) = fi2 (ц2 + 2) + 36M^F, (326)
192
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
и это должно быть равно х + fi2/F. Таким образом, функция F1 определяемая уравнением (325), действительно удовлетворяет уравнению (311), если
?2 - 36М2, х = (^2 + 2). (327)
Следовательно, уравнение (263) для Y допускает дуальные преобразования, описанные выше в п. а, причем выражения (317) для V{±) при условии, что ? = 6М, а / определяется уравнением (325), совпадают с соответствующими выражениями из § 26 (уравнения (133)—(135)). Кроме того, при данных определениях х, ? и F соотношения (323) и (324) совпадают с ранее полученными в предположении, что и имеют как раз такой вид, какой мы сейчас получили для них.
Наконец, заметим, что если функция F задана уравнением (325), то
Wi-) - 2 (г - ЗМ)/г2,
117(+) = 9 ^r2-^2Mr-6M^ W г* (ц2г + 6M)
(328)
31. Прямое вычисление Y0 через возмущения метрики
В предыдущем параграфе мы выразили вейлевский скаляр Y0 =(г»/Да)У+2 (г) S+2 (Q) (329)
через возмущения метрики, показав, что дуальные преобразования (318) и (319) позволяют выразить функцию Y+2 через Z(+) и Z(_). В настоящем параграфе мы замкнем круг, проведя прямое вычисление Y0 через возмущения метрики. По определению
% = Яшяпгм^ты 1<')тм. (330)
В гл. 3 (§ 21) мы показали, что в пространстве-времени Шварцшильда скаляр W0 (а также Y1, Y3 и Y4) равны нулю, поскольку это многообразие принадлежит к типу D по классификации Петрова. Поэтому при вычислении возмущенного значения Y0 достаточно свернуть возмущенный тензор Римана с невозмущенными базисными векторами, а вклад от свертки невозмущенного тензора Римана и возмущенных значений базисных векторов 1 и m (которые являются в свою очередь линейными комбинациями невозмущенных базисных векторов) равен нулю вследствие равенства нулю невозмущенных вейлевских скаляров Y0, Y1, Y3 и Y4. Таким образом, мы можем записать
