Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнения (200) следует
т2 (х, er) = — е
-2iox
+
—21 ох
(1/2/а) J e+2iax'V(х)т2(х , a)dx
-OO
Jf
1 +(1/2/а) j V (х)т2(х\ a) dx'
-OO
+ OO
(I?io) j e+2iax' V (x)m2 (x, a) dx'
+ 0(1) (X-.оо). (201)
-j-oo
+ 1 + (1/2/a) j V(x')m2(x', o)dx'
—OO
Сравнение этого результата с уравнением (191) показывает, что
+ OO
^g- ---- - (l/2to) j e2iox V (X) т2 (ху a) dx, (202)
— OO
+ OO
-+- - 1 + (1/2w) [ V (X) т2 (X, a) dx. (203)
176
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Ясно, что можно выписать подобные же уравнения для R2 (сг)/Т (а) и 1/Т (а) через функцию Йоста шх (X1 а).
Из уравнения (203) можно вывести одно важное следствие. При Im а <0 мы можем получить сходящееся разложение для функции 1/Т (а), используя решение для функции Йоста т2 (х, а), полученное последовательными итерациями интегрального уравнения Вольтерра (200). Это разложение является разложением в ряд по обратным степеням о с ограниченными коэффициентами, если V (х) удовлетворяет наложенным нами требованиям конечности интегралов от всех полиномов, построенных из функции V и ее производных. В частности, из уравнения (203) следует, что
+ OO
T(O)=I - (1/2ш) J V (х) dx + О (а"2). (204)
— OO
б. Разложение функции In T (а) в ряд по обратным степеням а и необходимые условия того, чтобы различные потенциалы приводили к одинаковым амплитудам прохождения. Мы видели, как можно получить разложение 1/Т (а) в ряд по сг*, комбинируя уравнения (200) и (203). Явные выражения для коэффициентов в этом разложении, однако, удобно получать, следуя другим путем, предложенным Фаддеевым.
Сделаем подстановку
т2 (х, а) = е<м*.а>. (205)
Уравнение (193), которому удовлетворяет т2 (х, а), принимает теперь вид
w" + 2iew' + (w')2 —V = 0, (206)
где штрих означает дифференцирование по х. Поскольку т2 -»- 1 при X —оо,
w-+0 (*-*-оо). (207)
Из уравнения (191) следует, что
о;-*-In Г (а) (х-> + оо, 1та<0). (208)
Полагая теперь
X
W(X1 о) = \v(x', о) dx' (wf =u), (209)
— OO
получаем уравнение
v' + 2iav + V2 — V = 0. (210)
Требование (208) приводит к следующему интегральному уравнению:
OO
In Г (а) =. — J v(x, a)dx. (211)
28. Элементы теории потенциального рассеяния
177
Будем искать теперь решение уравнения (210) для и в виде ряда по степеням а~1:
V= %vn(x)/(2io)n, (212)
где, как следует из уравнений (204) и (211),
U1 = V. (213)
Подставляя разложение (212) в уравнение (211), получаем
OO
InT(g) = — ? спа~п, (214)*
+ OO
(2i)ncn = $ vn(x)dx. (215)
— OO
Подставляя теперь разложение (212) в уравнение (210) и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях 1/а, получим рекуррентное соотношение
п-\
Vn = —vn-i - Ц V1Vn^u (216)
7=1
с помощью которого можно вычислить все Vn, начиная с
U1 = V. (217)
Находим
V2 = —V1 = —V', Vz = —v'2~v\=V" - V\ V4 = - v. - 2U1U2- V" + 2 (V2)\
V5 = —vi - 2U1U3 - vi - V"" - 3 (V2Y -f (V')2 + 2V3 и т. д.
Коэффициенты с нечетными номерами с2гг+1 в разложении In T (а), таким образом, равны
+ OO OO
2/C1=JVdX; - (2O3C3= J V2dx;
-OO -OO
OO
(204= J (2V3 + V'2)dx и т. д., (219)
* Я благодарен д-ру Розе Траутман, указавшей мне, что этот результат прямо следует из альтернативного разложения для InT(G), предложенного В. Е. Захаровым и Л. Д. Фаддеевым (Funct. Anal. Appl., 5, 280, 1971):
OO OO
In T (а) = (<72я) V (i/o") J (а')"-1 In | T (a') |2 da',
.-, = 1 -О}
178
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
а все коэффициенты с четными номерами равны нулю.
Теперь ясно, что если два потенциала дают одинаковые коэффициенты прохождения T (а), то полученные ряды для In T (а) (сходящиеся при Im а < 0) для этих двух потенциалов должны быть почленно равны. Поэтому интегралы от функций
(1) V\ (2) V2; (3) 2V3 + V'2; (4) 5К4 + ШУ* + V 2;
(5) IW6 + 70V2V'2 + IAVV"2 + V"'2 и т. д. (220)
должны быть равны. Эти интегралы формально совпадают с сохраняющимися величинами уравнения Кортевега—де Фриза
utt - ouux -+ иххх = 0. (221)
Это совпадение не случайное, но выяснение причин уведет нас слишком далеко в сторону. Интересующиеся могут обратиться к соответствующей литературе, указанной в библиографических замечаниях к настоящей главе.
в. Прямая проверка иерархии интегральных соотношений для потенциалов V(±) = ±?/' + ?2/2 + х/. Интегральные равенства для конкретных потенциалов и V{~\ заданных уравнениями (136) и (137), можно проверить, вычисляя выражения (220) для потенциала
V = ?f + ?T + х/ (222)
и показав, что нечетные по ? члены выражаются в виде производных от комбинаций функции / и ее производных и, следовательно, обращаются в нуль при интегрировании (вследствие предположения о стремлении к нулю / и всех ее производных при X d= с»).
Например, равенство интегралов от 1/<+) и V^ следует из того факта, что интеграл от ?/' обращается в нуль.
Рассматривая К2, находим, что члены, нечетные по ?, равны
2? (?2/2 + X/) Г = 2/3?3 (PY + x? (/2)'. (223)
