Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
В теории одномерного потенциального рассеяния исследуются решения волнового уравнения Шредингера
(lF + 0*)f=Vf (-«><*< + «>), (170)
где V (х) — гладкая функция х. Мы предположим также, что интегралы по бесконечной области изменения х (от —оо до +°°) от любых полиномов, построенных из функции V и ее производных всех порядков, конечны. При этих ограничениях на V асимптотики решений уравнения (170) равны
еыах. (171)
Рассмотрим теперь два частных решения f± (х, о) и /2 (х, а), имеющих следующее асимптотическое поведение:
Два решения уравнения (170) Д (х, о) и Z1 (х, —а) независимы, поскольку их вронскиан отличен от нуля:
[/і (х, a), fx {х, — о)] =
= (/J (х, а) /, (х, — а) — /і (х, а) /,' (х, — а)) =-• const =
= lim [etax (- /а) е-'ах - е~Сах (/а) е+ш} = - 2іа ф 0. (173)
л:->+оо
Точно так же
t/2 (X, а), /2 (X1 -а) ] = +2іо Ф 0, (174)
и, следовательно, /2 (х, а) и їч (X1 —°) также являются независимыми решениями уравнения (170). Отсюда следует, что существуют однозначно определяемые функции R1 (a), R2 (а), T1 (а) и T2 (а), такие, что при а Ф 0
Ы*. а) = j^h(x, о) + jr^-M*. ~°). (175)
м*. °> Шh{x'0)+ш^х' ~°)- (176>
28. Элементы теории потенциальньго рассеяния
173
S(a)
(179)
Из предположения (172) и представлений (175) и (176) получаем
ІТ.''(х-0) = Ше-'"+тше+'"- <177> "> - Ше+Ш + тЬ)'""' (,78>
откуда можем заключить, что T1 (а) /2 (лг, о) соответствует падающей из -f-c» волне с единичной амплитудой (ср. с уравнением (159)), которая после взаимодействия с потенциалом V (х) пре-' вращается в суперпозицию отраженной волны амплитуды R1 (о) и прошедшей волны амплитуды T1 (а). Точно так же T2 (а) Д (х, а) соответствует падающей из —оо волне единичной амплитуды, переходящей в суперпозицию отраженной волны амплитуды R2 (о) и прошедшей волны амплитуды T2 (о).
Определим матрицу рассеяния, или S-матрицу, следующим образом (о Ф 0):
IT1(Q) R2(O) Ri(O) T2(O) •
Из соотношений (173) и (174) и представлений (175) и (176) следует, что
T^T = "Жf№ °). Ы*. °)] = "те"
Таким образом,
T1 (а) = T2 (а) = T (а), (181)
Ri(Q) _ R2J-Q) Ri(-о) _ R2(Q) пя9ч
T (о) T {—о) 9 Г(-а) ~~ Г (а) ' ^
Кроме того,
Г (о) = Т(- а), Rl (о) = R1 (- о), Rl (- о) = R2 (а). (183)
Подставляя далее в уравнение (176) для J1 (х, а) представление (175) для /2 (л;, о) и приравнивая в получившемся выражении коэффициенты при Д (х, о) и /х (х9 —о) (что допустимо вследствие независимости этих решений), находим
і _ #2 (о) Ri (о) , 1 пм,
Т(о)Т(о) -г т (о)Т (-о)' (ioq)
С помощью уравнений (182) и (183) можно переписать соотношение (184) в альтернативных формах:
I R1(O) р +1 T (a) |« = j R2 (о) P + I T (сг) р = 1. (185)
174
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Из уравнения (185) следует, что
|Ях(оН |/?s(a)|,|74o)|<l (186)
и, кроме того, что R1 (о) и R2 (а) могут отличаться только фазой. Соотношения (181) — (183) определяют симметрию и доказывают унитарность S-матрицы.
а. Функции Йоста и интегральные уравнения для них. В теории потенциального рассеяния вводятся функции Йоста
тх (х, а) - C+^f1 {х, а), т2 (х, а) - e~iox f2 {х, а), (187) удовлетворяющие граничным условиям (см. уравнение (172))
/w1(x, g)-> 1 (Х~+ + ОО),
Hi2(X, о)-+I (х^ -оо). (188)
Пусть теперь а может принимать комплексные значения и пусть 1та<0, так что функции Д (х, а) и f2 (х, а), определяемые уравнением (172), стремятся к нулю соответственно при х -> + оо их-*- —оо.
Выраженные через функции Йоста, уравнения (175) и (176) принимают вид
T(O)In2(X, о) =-- R1(O)C-21^m1(X, о) + тх(х, -о), (189)
T(о)тг(X, о) - R2(о)е+2іохт2(х, о) + т2(х, —о). (190)
Из асимптотик (188) следует, в частности, что
т*(*>°)-Ше~21ах + 11от+0{1) (*"* + 0°)' (191)
mi (*' °) = 1?? e+2i0X +1+ + 0 (1) (*+-«>)¦ (192)
Заметим также, что функции Йоста удовлетворяют дифференциальным уравнениям
d2mi 0. Om1 Т7 d2m2 , 0. dm2 Т7 /юоч
Теперь мы получим интегральное уравнение для функции т2 (х). Полагая
f2(x, o) = eiax + у(х, о) (\р-±0 при оо), (194)
находим, что г|) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(¦S-+^)*(195)
Функция Грина этого уравнения, но с V = 0, равна
G(x — х) = (I/a) sin о (л: — *') Є (л: — х'), (196)
28. Элементы теории потенциального рассеяния
175
где О (л: — х') — ступенчатая функция:
1 при
О при х<.х'. Следовательно, (поскольку г|) -»- 0 при х -»-—оо),
(197)
а) = (1/2ш) jVа
(jf—jf') _ ta (Jf-Jf)
X [e'"' +H)(Jf', а)] (Lc'. (198) Переписывая это уравнение через функцию Поста
т2 (х, о) = е~іа% (X, а) = 1 + e-'a*i|) (*, о), (199)
получаем
X
т2 (х; a) = 1 - (l/2m) J (e2'0 {х'~х) - X)V (х) щ (х , о) dx'. (200)
— OO
Уравнение (200) в случае а Ф 0 является интегральным уравнением Вольтерра для функции тг(х, о-), и при Im a <0 его решение, получаемое последовательными итерациями, сходится для всех гладких интегрируемых функций V. Очевидно также, что решение, получаемое итерациями, является разложением т2 (х, а) в ряд по обратным степеням а. Основываясь на этом, можно показать, что пг2 (х, а) есть аналитическая функция в нижней полуплоскости комплексной переменной о (т. е. при Im a < 0) и, кроме того, что т2 (х, а) непрерывна при Im a <: 0 (tf Ф 0).
