Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Y0- -№Шяпт*)1{р)тМ WmS*K (331)
Индексы заключены в скобки, чтобы подчеркнуть, что обозначение тетрадных компонент дано в системе отсчета, в которой был вычислен тензор Римана в гл. 2 (уравнение (75)).
31. Прямое вычисление
193
Тетрадные компоненты базисных векторов можно получить, подвергнув тензорные компоненты (гл. 3, уравнение (281)) преобразованию:
ev ООО
(332)
причем e2v /<р>
¦е+\ 0), (333)
0 r sinO О О О 0 e~v О 0 0 Or : Д/г2 = (1 — 2Mlг). Находим :(/(0, /«P)1 іт) = (е-\ 0, е-\ о), (я<'\ /iC)t я<е>) = 1/2 (e+v, О, (т«>, mw, т<'>, т(в)) = 2-*/2 (0, і, 0, 1). Свертывая тензор Римана с этими векторами, получаем
W0 - - ІЄГ*> (8Яо.ш + ОЯ2321 + S^2301 + 6^0321) ~
~~ V2?~2V (б^?0303 ~~Ь 2б/?0323 + Oi?2323 ~~ 6^?0101 26/?oi21 ~~ 0/?2ш).
(334)
Заметим, что "1F0 можно разложить на аксиальную часть — первая группа членов, нечетная по индексу 1 и меняющая знак при обращении знака ср, и на полярную часть — вторая группа членов, четная по индексу 1 и инвариантная относительно обращения знака <р.
а. Аксиальная часть Y0. Выражения для соответствующих компонент тензора Римана, входящих в аксиальную часть Y0, возьмем из списка, приведенного в гл. 2. Имеем
оЯозої = 1I**-**-*'Q*»о- Va**-*1'-14*Q23V,г,
+ Qo3 (1/г -V11.)- Q02 ctg 9],
8Дon = - V^*^»-»4* [Q20, з + Q2o ctg 9 -
-Q23,o + Quo (Vr-V9 r)l
Напомним, что здесь мы ограничиваемся аксиально-симметричными возмущениями (что можно сделать, как было показано в § 23, без потери общности). Подставляя выражения (335) в те члены уравнения (334), которые входят в него с множителем —і, находим
- Im Y0 =¦ {Q23/r + V2Q23, г + 72e-2vQ23, о +
+ 1IjT» [Q03,г + 2 (Vr - V, г) Q03] + V2?-4vQo3. о} sin9. (336)
1Ii? Чандрасекар С.
194
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
С другой стороны, в силу уравнений (13)—(15) и (19)
Q (г) CT?'2 (9)
. = Lint 9 (337)
ЄозТ= (Л/г4 sin3 Є) q. ,C^2 (G)V0'. (338)
Подставляя эти выражения в уравнение (336), получаем (опуская общий множитель еш) ,
-'»*.-{ттЧ4)+? + -&Є + -Н-4' +
+w[t(44) + 't(|-'.-)«.-])1?. РЭЧ
Это уравнение можно упростить, воспользовавшись соотношением
[4-4
U Д2 ,ад V-T- Г2Д dr j їЧт Sin2 0 —
і. Г 1 dQ , г — ЛІ Л]
-°2^ + 7^ + -^-ііг}тат- (340)
Полагая, как и в уравнении (25),
Q = rZ<->, (341)
после некоторых упрощений находим
- Im % = (иг + -^-) -J7- +
rQi« + 2)r-6M і/(г-ЗМ) _ ,) CJ^(9)
Вспоминая определения (27) и (328), именно
И7(-> = 2(r-3M)/r2, V(-) = Д[(ц2 + 2)г-6М]/г5, (343) перепишем уравнение (342) в виде
-2la Im= -j- [(2ia + W<->) -?^ +
1 ?-3/2 (Q)
+ (у<-> + tW(-> - 2а2) Z<-> J -??1' (344>
31. Прямое? вычисление %
195
или иначе
— 2io Im 4*0 - (r3/A2) [K<->Z<-> +
+ (W^ + 2ia) A+Z*"*] C^2 (9)/sin2 9. (345)
Это уравнение в силу подстановок (256) и (261) полностью соответствует уравнению (318), к которому мы пришли, решая уравнения формализма Ньюмена—Пенроуза и используя теорию преобразований.
б. Полярная часть ?0. Возмущенные компоненты тензора Римана, входящие в полярную часть ?0 в уравнении (334), могут быть получены линеаризацией соответствующих компонент (выписанных в гл. 2) около невозмущенных шварцшильдовских значений:
+ «v, ее + *-2^%3,
- oi?oioi = - 2(tfx2 v,r + 4» ^f- + e2v\ г в*, г +
- 6^2323 =--~ б(л2| ад + 26(1^v -^- -
- б/?ш2 = 26[x2 — v, г —
- «•* [б^,гг + (А + v>r) в*,, - itoL]
Подставляя эти выражения в члены, входящие в уравнение (334) с общим множителем — 1/i!e-2v, находим
+ 2ia (J7 + I - V, г) ] (6Ч> - б^з) - <х%-2- (бф - бц3) +
- 6#0ш = + ІО [—««.г+ -J-(6I1« - в*) + V.r6^] •
ReY1
196
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
В силу уравнений (36)—(39)
Ц - OjX3 - - V (P и ее - PliQ ctg9) = - VCT^ (9)/sin2 9, (348) ov — ojx2 = (N — L) P1.
Таким образом,
- - 4 {[-&+-f ?+«—(-Jr+4 - v.) -
і e-2v 1 (77?2 (9)
_ e-4v0?] у _ 1__ {N _ L)j _i±i±l. (349)
С помощью уравнения (51) и перегруппировки членов получаем
— Re W0 = {— (v, ГУ, г + tfle^V + Ner*>lr*) +
+ taT2v[V,r + (I//* - v,r) V]} Cr+32/2/sin29. (350)
В первой группе членов (без множителя ia) вместо VyT подставим соответствующее значение из уравнения (57) и, кроме того, явно выпишем выражение для v (г):
+ (г-2Л«)« \п{г-Ш) (L + X)- V] -
пг* — Шпг — ЪМ*
N — M[nr* — M(2n— l)r — 3Ma] , , Л nr*(r — 2M)» L~T~
, (га — 3Atr -f ЗЛ!а) T/)Cffi(fl)
"1--r* (/•-2M)» sin*9 * ^ol>
С помощью соотношений (57) и (60) это выражение можно привести к виду
пуп _ 1 (2п" (п +1) г8 + 6МпУ + 18M*w + 18М8 7 ,
— КЄ T0 — "2д- I r«(nr + 3AIJ» ^
Вспоминая теперь определения (63) и (328) для функций У(+) и vfP(+), получаем уравнение
- ReW0 = (г3/А2) (+)Z(+) + (Ww + 2ш) A+Z(+)] СГ# (9)/sln2 9,
(353)
которое полностью согласуется с полученным ранее с использованием формализма Ньюмена—Пенроуза и теории преобразований, Круг замкнулся.
