Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
дф21 - б*022 + 2 (ц* + y) Ф21 - 2vOu - v*Ф2() +
+ 2AO12 + (т*— 2а - 2?*) Ф22. (З21'з)
Свернутые тождества (314) и (315) принимают в формализме Ньюмена — Пенроуза следующий вид:
б*Ф01 + 6Ф10 - D (фп + ЗЛ) - Д Ф00 = = х*Ф12 + хФ21 + (2а + 2т* — л) Ф01 + + (2а + 2т - л*) Ф10 - 2 (р + р*) Фи - а*О02 -
— аФ20 + [ц + р* — 2 (y + y*) ] Ф„о, (322и)
б*Ф12 + 6Ф21 — Д (O11 + ЗЛ) — DO22 = = — vФ01 — v*O10 + (т* — 2?* — 2л) Ф12 + + (т - 2? - 2л*) Ф21 + 2 (р + ^*) фи _
— (P + Р* — 2є - 2е*) Ф22 + AO02 + А*О20) (322к)
3 Чандрасекар С.
66
Глава L Математический аппарат
6 (CD11 — ЗЛ) — D(D12 — дф01 + б*Ф02 -=
- хФ22 — v*O00 + (т* — л + 2а — 2?*) Ф02 — оФ21 +
+ Л*Ф10 + 2 (т - я*) O11 — (2р + р* - 2е*) Ф12 +
+ (2ц* + li - 2у) Ф01. (322л)
В пустоте скаляры Риччи равны нулю, и соответствующие тождества Бианки —это восемь комплексных уравнений (321а)— (321з), в которых члены [Риччи] положены равными нулю. В этом случае не нужно также рассматривать свернутые тождества (322). В общем случае, однако, члены [Риччи] должны быть включены в уравнения (321), причем в формализме Ньюмена — Пенроуза они заменяются компонентами тензора энергии-импульса в соответствии с уравнениями Эйнштейна:
Ru - - (8nG/c*) (Ttj - l/2giJT). (323)
Основными уравнениями формализма Ньюмена — Пенроуза являются коммутационные соотношения (303)—(306), тождества Риччи (310а)—(310т), приведенные уравнения (311 а)—(311 к) и тождества Бианки (уравнения (321) и (322)). Как уже отмечалось, не ясно, что именно описывают эти уравнения и в каком точно смысле они заменяют уравнения Эйнштейна или эквивалентны им.
е. Уравнения Максвелла. В формализме Ньюмена — Пенроуза вместо антисимметричного максвелловского тензора электромагнитного поля Ftj используются три комплексных скаляра:
Фо = ^1з = F ці1 ті,
Іі V2 (F12 + ^43) = 1UF1J (IіW + mtml)9 ф2 - F42 = Fijmw\ (324) а уравнения Максвелла
Fun *] - 0, gikFij; k - 0, (325)
выраженные в тетрадных компонентах и внутренних производных JWi = O, т|^ая|т = 0, (326)
заменяются следующими уравнениями:
I 1 — <?с|4 0, </>2|1 — |4 -= 0, <?і,з — </>о|2 0, </)2|3 — </>1|2 = 0.
(327)
Найдем явный вид этих уравнений в терминах спиновых коэффициентов. Вычислим, например, ф\\\'.
<t>\, і - V2 [Fi2.! - тГт (Vn \\Fm2 -f уп 21Flm) + F431I - if™ (Yn 4iFm3 +
+ ї*зЛт)] = ^1,1 — (7131^42 + із) = Щ\ f *>fa ~ пф0. (328)
Подобным же образом получим
^о|4 = 6*^о-2а^о + 2р^. (329)
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
67
Первое из уравнений Максвелла (327), таким образом, выглядит следующим образом:
Df1 - 6*</>0 =-. (л - 2а) ф0 + 2рф1 - кф2, (330)
остальные уравнения имеют вид
Df2 - 6V1 = -Ц0 + 2пф, + (р - 2г) </>2, (331)
8*1 - Л^о - (H - 27) </>0 + 2т</>г - а</>2, (332)
6^2 - Афг --= -vv\ f 2^1 + (т - 2?) </>2. (333)
Компоненты тензора энергии-импульса максвелловского поля
Tab = 4dFacFbd - llf\abFefFef> (334)
выраженные через максвелловские скаляры, </>0, фг и ф2 равны —1A^n фоФ5\ —1I2Ti3 = </>о</ч; -V4(Fi2 -Ь П4) ----- фхф*\ -1I2T2, - *ifl; (335)
--72^22 - *2*2; -1I2T3?, = <М>2>
причем след ТаЪ, конечно же, равен нулю. Можно в соответствии с уравнениями (300) и (323) положить
Л = 0 (336)
и заменить Фщп на фщфп с учетом коэффициента пропорциональности —8nG/c4.
Члены [Риччи] (32Га)—(32 Г з) в тождествах Бианки (321а)— (321 з) можно значительно упростить, если использовать уравнения Максвелла (330)—(334). Например, рассматривая в уравнении (32 Г а) члены, содержащие производные скаляров Риччи, имеем
-DO0I + бФоо-+ —D(фофї) + S (ф0ф*0) =- —ф0 (D</>f - Ьфо) -
- фЮфо + ф^фо ¦= —і (л* - 2а*) фЪ + 2рVi - "V?I -
-фЮфъ-\-фЩо. (337)
Подставляя затем последнее выражение в (32 Г а), получаем
-фЮфо + фо&фо + 2 (є</>0</>* + a^i^S - *ф\ф\ ~ PMS). (338)
Другие уравнения в системе (32Г) допускают такое же упрощение, причем члены [Риччи] для уравнений Эйнштейна—Максвелла принимают следующий вид (с точностью до коэффициента пропорциональности):
-фЮфо + ф^Ьфо + 2 (ефоф*{ + офхф*0 - кф,ф\ - ?</>0</>0*), (339а)
+ ^reVo - </>о Д</>о + 2 (-а^Г + рфхф{ + 7Mo - Vi</>o), (3396)
—ф№ф2 + + 2(-е</>2</>1* - (Vi</>o + ?Mo + яМО, (339в)
—Д#2 + фх&Ъ + 2(a^i + vfrft - Y^o - Wi )> (339г) З*
68
Глава 1. Математический аппарат
—ф№ф0 -f </>1*8</>0 + 2 (—кфіфї - ?fttff + офіф{ + їфоф*2), (339д) + фіАфо - ф^фо + 2 (-р</>1</>| - уфофі + T^f + af)#), (339е)
—ф№ф2 + </>! б</>2 + 2 (—Є</>2</>2* ~ [іфіфі + ?</>2</>! + ^1^2*), (339Ж)
+ ф\Аф2-ф^ф2 + 2(-аф2ф1-^ф\ -fvH>i +Цхф2). (339з)
В силу того что равенство нулю дивергенции тензора энергии-импульса выполняется автоматически вследствие уравнений Максвелла, уравнения (322) не будут рассматриваться.
ж. Преобразования тетрад. Выбрав поле тетрад — ортонор-мированных, как в обычном тетрадном формализме, или изотропных, как в формализме Ньюмена — Пенроуза, — можно подвергнуть тетрады преобразованию Лоренца в некоторой точке и распространить это преобразование на все пространство-время так, чтобы его параметры изменялись непрерывно от точки к точке. Соответственно шести параметрам группы лоренцевых преобразований мы имеем шесть степеней свободы для вращения выбранного поля тетрад. Общее лоренцево преобразование базисных векторов 1, п, m и m удобно разделить на три класса:
