Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
D (р — P*) + бх* — б*х = (р — р*) (р + р* + 8 + е*) + + x (т* + я — За — ?*) — х* (т + я* — За* — ?), (31 Ia) D ([і — + б (а + ?* — я) — б* (а* + ? — я*) =
= (Y + Y*) (P - P*) + а (я* - 2?) - а* (я - 2?*) +
x*v* — xv + ?я — ?*я* + (р + р*) (|х — (x*), (3116) D ([і — {я* — 7 -f- 7*) -J- Д (є — є*) — б я -f- б*я* = = (є + є*) (ц* — [і) + т* (а* + я* — ?) — — т (а + я — ?*) + Xo — Л*а* + р*|ы — р|х* +
+ 2 (Є7 — є*7*), (31 їв)
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
63
А ((х* - (а) + Sv - 6*v* - du - ц*) + ^ + у + у*) +
+ v (т — 3? — а* + я*) — V* (т* + я — 3?* — а), (31 Ir) D (т — а* — ?) — Ax + б (є + є*) =
= р (Т + я*) _f Х*Л* + а (т* — а — ?*) + + 8 (т — я*) — р* (? + а* + я*) + + 8* (2а* + 2? — т — я*) + X (|х — 2y), (311 д) б (р — 8 +8*) — б*а -\- D ф — а*) =
= р (а* + ? + т) — р* (т — ? + а* + я*) + + (8* — є) (2а* — я*) + а (я — 2а) +
+ X (у* — у — її*) + х*я*, (31 Ie) DX + да* — б* (т* + я) = а* (3y* — y + И — V*) +
+ (я + т*) (я — т* + а) + X (р — р* — 38 + є*) —
— ?я — x*?*, (311ж)
Ov + Л (а + ?* — я) — б* (y + y*) =
= v (р — 2е) (я* — а* — ?) +їх (я + т*) — — ц* (а + ?* + т*) + у (л —т*) +
+ y* (2а + 2?* — я — т*) + g*v*, (ЗІ Із) Л (?* - а) + 8х + б* (y - y* - ii) =
= V (е* — е — р*) + X (т — 2?) + а (р, + Ji*) — -ja* (я +т* + ?*) +[і(я + ?*) +
+ (Y-Y*) (т* — 2?*) + g*v*, (ЗІ їй) D[i -f- Лр — бя — б*т = р*(х — pp.* -f-
+ я (я* — а* + ?) + т (?* — а — т*) +
+ P(Y +Y*)-И* +**)• (31 Ik)
д. Тождества Бианки. Как мы установили в § 7, г, существует всего 20 линейно независимых тождеств Бианки. Полное множество состоит из восьми комплексных тождеств
#із[із|4] = 0'» #із[2і|4] = 0; /?із[із|2] = 0; #із[4з|2] = 0;
#42 [13|4] = Oj #42 [21(4] = Oj R^2 [ІЗI 23 ~ 0; /?42 [4312] = 0
и четырех действительных тождеств, которые следуют из
4)bC(Rab- V2W?)|c = 0. (313)
Расписав уравнения (313) в явном виде, получим два действительных уравнения
#Щ2 + #34 11 — #13|4 — #14|3 = 0, #22 11 + #34 | 2 ~" #23|4 ~ #24|3 "= О
(314)
64
Глава t. Математический аппарат
и одно комплексное уравнение
#33|4 + #12|3 ~ /?3112 ~ #32 |1 = 0. (315)
Наша задача — записать тождества Бианки через спиновые коэффициенты. В качестве примера рассмотрим первое из тождеств (312). Имеем
#1313|4 + #1334 I 1 ~\~ #1341 |3 = 0- (316)
Используя уравнения (293), можно переписать это соотношение следующим образом:
Ci31314 + (Сізз4 + V2AIa)Ii- V2An із = 0. (317)
Для членов, содержащих тензор Вейля, имеем следующие уравнения:
Сізі3|4 = Сізі3і4 — I]0^(YnI4Cm3I3 -f~ Yn 34Cim 13 + Yn 14^ 13m3 +34Cj3Im) =
= Сізіз,4 ~ 2 (Y2U + 7344) С1313 -f - 2Y311 (С1213 + C4313) —
- — o*?0 + AaW0 - 4р?ь (318)
C1334 11 =- Ci334,! — 'ЦПт ІУп ІіСт 334 + Yi ЗІ (Сіт 34 + Cj3 т4) + + Уп 41^133 ті С1334д — [(Y2Il + 734l) C1334 ~f~ Yl3I (C1234 ~ — C3434) -J- Y23lCl3ll 4" Yl4lCl332 'Г Yl3lC132i "T~ Ї24іСі33і] =
- DW1 - 2e?i + Зх?2 - nW0. (319) Подобным же образом находим
V2 (#ІЗ|1 — #іі|з) =
= -ОФ0і + бфоо + 2 (в + р*) Ф01 + 2аФ10 - 2TiO11 - х*Фо2 +
+ (я*-2а*-2р)Ф00. (320)
Комбинируя уравнения (318)—(320), получим искомое явное выражение для тождества (316). Остальные тождества получаются таким же путем. Ниже дана сводка восьми комплексных тождеств (312), выраженных через спиновые коэффициенты:
—6*?0 + DW1 + (4а - я) W0 - 2 (2р + є) Wi + Зх?2 + [Риччи] = 0,
/?із[із|4] = 0, (32Ia)
+ б*?і - DW2 - KW0 + 2 (я - а) W1 + Зр?2 - 2х?3 + [Риччи] = 0,
#13 [21 W = 0, (3216)
—b*W2 + DW3 + 2Wi - Зл?2 + 2 (є - р) W3 + х?4 f [Риччи] - 0,
#42 [1з|4] = 0, (32 Ib)
+ o*?3 - DW4 - 3KW2 + 2 (2я + а) W3 - (4е - р) W4 -f [Риччи] = 0,
/?42[21|4]=0, (321г)
- Д + 6?i + (4y - |i) W0 - 2 (2т + ?) W1 -f За?2 + [Риччи] = 0,
#із[із|2]-0, (321д)
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
65
_д _|_ бЧг2 + v4/0 J- 2 (у - ц) V, - 3tY2 + 2а?3 + [Риччи] =., О,
/?13[43|2]-0, (32Ie)
- Д Y2 + 6Y3 + 2vY, - 3jiY2 + 2 (? - t) Y3 •f aY4 + [Риччи] = О,
#42 [13|2] = О, <321ж)
-AY3 -f 6Y4 + 3vY2 - 2 (V + 2р) Y3-(T- 4?) Y4 -f іРиччи] - О,
/?42[43|2]=-0, (32 ІЗ)
где члены, относящиеся к тензору Риччи (обозначенные [Риччи]), равны следующим выражениям (буквенный индекс этих уравнений соответствует буквенному индексу уравнений (321)):
—DФ01 + 6Ф00 + 2 (є + р*) Ф01 + 2<тФ10 — 2хФи —
— к*Фо2 + (я* — 2а* — 2?) Ф00, (321 'а)
+6*Ф01 — ДФ00 — 2 (а + т*) Ф01 + 2рФи +
+ а*Ф02 — ((і* — 2у — 2у*) Ф00 — 2тФ10 — 2DA, (321'б)
—DO21 + 6Ф20 + 2 (р* — є) Ф21 — 2рФ10 + 2яФп —
— х*Ф23 — (2а* — 2? — л*) Ф20 — 2б*Л, (321'в) —Д Ф20 + б*Ф21 + 2 (а — т*) Ф21 + 2vO10 +
+ а*Ф22 — 2A-O11 — (р* + 2Y — 2y*) Ф20, (321'г)
—DO02 + 6Ф01 + 2 (л* - ?) Ф01 - 2хФ12 - ?,*О00 +
+ 2аФи + (р* + 2є - 2є*) Ф02, (321 'д)
ДФ01 — б*Ф02 + 2 (р* - y) Фоі - 2рФі2 - v*Ф00 +
+ 2тФ„ + (т* — 2?* + 2а) Ф02 + 28Л, (321'е) —DO22 + 6Ф21 + 2 (л* + ?) Ф21 — 2цФп —
— ^*Ф20 + 2лФ12 + (р* — 2е - 2е*) Ф22 - 2дЛ, (32Гж)
