Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= — ЇІ21Є1 + Ї212Є2 + (Y312 - ?32l) Є3 + (Y412 ~ Y42l) Є4 =
-= —Yi2i A -f Y212O - (Y312 - YS21) б* - (Y4i2 - Y421) б- (302)
60
Глава 1. Математический аппарат
Это коммутационное соотношение, записанное с использованием введенных ранее обозначений спиновых коэффициентов, принимает следующий вид:
AD — DA = (у + V*) D + (є + є*) Л —
— (т* + я) б — (т + я*) б*. (303)
Подобным же образом получаем
8D-Do = (а* + ? - я*) D + хД - (р* -f є - є*) б - аб*, (304)
бЛ — Дб - — v*D + (т — а* — ?) Д +
+ (їх — у + у*) б + ?і*б*, (305)
б*б — бб* - (|х* — (х) D + (р* — р) Д +
+ (а — ?*) б + (? — а*) б*. (306)
Сравнивая уравнения (303)—(306) с уравнением (301), получаем следующую таблицу, в которой структурные константы выражены через спиновые коэффициенты:
C2i = +(v + V*); Cl1 = + (а* + ?- я*); C32 =-v*\
С\3 = її*- (х; Cii = +(e + e*); Cl = +х; С322 = т-а* - ?;
СІз = р* — р; сім = — (т* + я); сії = — (р* + є — є*);
Сз2 =---• fx — у + у*у Cl3=Ta- ?*; С21 — — (т + я*);
Сзі = —а; С32 = + Я*; C443 = ?-a*. (307)
г. Тождества Риччи и приведенные уравнения. Выясним, как выглядят тождества Риччи в формализме Ньюмена—Пенроуза. Для этого в качестве примера рассмотрим компоненту (1313) уравнения (275). Используя соотношения (293); получаем
= ^1313 — /?ізіз — 7ізз,і їізьз +
+ Yl33 (Vl21 + ?431 Ї4ІЗ + Ї431 + V134)
— Visi (?4зз + V123 — V213 + V231 + Vi32)- (308) Используя введенные обозначения для производных по направлению и спиновых коэффициентов, приведем это соотношение к следующему виду:
Do — бх = сг (Зє — є* + р + р*) +
+ x (я* — т — 3? — a*) + W0. (309)
Как уже упоминалось при описании стандартного тетрадного формализма в § 7, г, можно, рассматривая различные компоненты уравнения (275), получить 36 уравнений. При использовании формализма Ньюмена—Пенроуза достаточно записать вдвое меньше уравнений, опустив комплексно сопряженные уравнения. Ниже мы выпишем систему 18 уравнений так, как они пер-
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
61
воначально были введены Ньюменом и Пенроузом в 1962 г., и укажем в каждом случае компоненту тензора Римана, которая приводит к данному уравнению:
Dp — o*x = (р2 -f ста*) -f р (є + є*) — х*т —
-х(3а +?*-tt) +Фоо, [R1SuI (31Oa)
Do — бх = g (р + р* + Зє — є*) — x (т — я*
+ а* + 3?) + W0, [R1313], (3106)
Dt — Дх = р (т -f- я*) -f а (т* + я) + т (є — є*) —
-x(3v +V*) + V1 +Ф01, [R1312], (ЗІОв)
Da — б*є = а (р + 8* — 2е) + ?a* — ?*8 — кХ —
- x*v + я (8 + р) + Ф10, [V2 (Яз4і4 - Ri2u) І (ЗЮг)
D? — бє = а (а + я) + ? (р* — є*) ~ к (\х + у) —
- є (а* - я*) + W1, [V2 (R1213 - Яз4із) 1, (ЗІОд) Dy — Де = а (т + я*) + ? (т* + я) — у (є + 8*) —
- є (Y + у*) + тя — vx + W2 + O11 — Л,
[V2(^1212-A34i2)], (ЗЮе) DX — б*я = (рА, -f a*ji) -f- я (я + а — ?*) — vx* —
- МЗе - е*) + Ф2о, [#244і 1, (ЗЮж)
Dji — бя = (р*(я -f- аА) -f я (я* — а* -f ?) —
- їх (є + 8*) - vx + V2 + 2Л, [/?2431], (ЗІОз) Dv — Дя = Ji (я -f- т*) -f- X (я* -f- т) + я (7 — у*) —
_ V (Зє + є*) +W3 + Ф21, [R2421], (ЗІОи) ДА — 6*v - — X (ja + li* + Зу — Y*) +
+ V (За + ?* + я - т*) - W„ [R2^2], (ЗЮк) бр — б*а = р (а* + ?) — g (За — ?*) + т (р — р*) +
+ x (li - Li*) - W1 + Ф01, [R3143], (310л) ба — 6*? = (до — Xg) + аа* + ??* — 2a? +
+ Y (P - P*) + МИ - И*) - + Фп + Л, (310м)
[V2 (^i234 a^3434) 1,
6*. - б> = V (р - р*) + я (ц - ц*) + її (а + ?*) +
+ К (а* - 3?) - ?3 + Ф21, [/?М48], (310н)
6v - Ali = (\i2 + M*) + (і (у + Y*) — v*n +
+ V (т - 3? - a*) + Ф22, [^2423 ], (ЗЮо)
62
Г лава 1. Математический аппарат
8у — A? = 7 — а* — ?) -f- [її — ov — ev* —
- ? (Y - Y* - (A) + «А.* + Фі2, [V2 (/?i23a - ^3432) І, (ЗЮп)
бт — Да = ([io + Х*р) + т (т + ? — а*) —
-а (37-7*)-xv* +Ф02, [А1332 І, (ЗЮр)
Др — б*т - —(р|я* + ok) + т (?* — а — т*) +
+ P (Y + Y*) +vx - W2 - 2Л, [tf1324 ], (310с)
Да — 6*7 = v (р + є) — А, (т + ?) + а (7* — ц*) +
+ Y (?* — т*) - Y8, [V2 (/?la4a - /?3442) ]. (ЗЮт)
Каждое из этих уравнений содержит один или более скаляров Вейля или скаляров Риччи, однако ясно, что, исходя из этой системы, можно получить 16 действительных уравнений, в которые входят только спиновые коэффициенты. Дело в том, что, хотя правая часть уравнения (275), из которого была получена вся система уравнений (310), антисимметрична по первой и по второй паре индексов, она не обладает инвариантностью тензора Римана (в левой части) при одновременной перестановке первой и второй пар индексов. А именно эта инвариантность (плюс циклическое тождество) снижает число независимых компонент тензора Римана с 36 до 20. По этой же причине имеется возможность исключить тензор Римана из 16 уравнений, входящих в систему из 36 уравнений (275) [и (310)]. Такая процедура исключения может быть выполнена прямо на выписанных уравнениях. Например, мнимая часть уравнения (310а) не содержит Ф00, так как Ф00 — действительный скаляр. Подобным же образом из уравнений (ЗЮв), (31 Од) и уравнения, комплексно сопряженного уравнению (31 Or), мы легко исключим Wi и Ф01 (= Ф?о) и получим одно комплексное уравнение, содержащее только спиновые коэффициенты. Продолжая систематически исключать скаляры Wi и Ф^, мы придем к следующей системе четырех действительных и шести комплексных уравнений:
