Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
(A3 - A2)(A0 - A1 К"1 + (A1 - A3)(A0 - A2)^1 + (A2 - A1)(A0 - A3)773"1 = 0.
5. Заключительные замечания. Рассмотренные в этой главе задачи динамики искривленного пространства подчеркивают различия между природой интегрируемости соответствующих задач в евклидовом пространстве. Интегрируемость одной части задач была существенно связана с группой Галилея, относительно которой инвариантны уравнения динамики К3. Ona пропала при переходе к искривленному пространству (гиростат, задача двух тел). Интегрируемость другой части сохранилась (свободное твердое тело, задача двух центров и пр.). Однако, даже во втором случае, например, для свободного движения твердого тела отсутствие группы преобразования Галилея привело § 8. Движение твердого тела с. гиростатом
255
к существенному усложнению топологического слоения фазового пространства на торы Лиувиллл.
Дальнейшее развитие небесной механики в искривленном пространстве сталкивается с большими сложностями. Непосредственное обобщение теоремы Якоби, теоремы Вейерштрасса об устойчивости, теории Зупдмапа [4] и др. па случай S3 и L3 вряд ли возможно, все эти результаты существенным образом связаны с существованием барицентрической системы координат. Глава 4
Гамильтонова динамика вихревых структур
§ 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
1. Динамика в абсолютных переменных. Рассмотрим движение в безграничной идеальной жидкости N параллельных прямолинейных вихревых нитей с интенсивностями Гі, точки пересечения которых с перпендикулярной им плоскостью имеют координаты (жг, г/г). Кирхгофом [74] было показано, что уравнения движения такой системы можно записать в гамильтоновой форме
TiXi = Щ- Tm = -§g, 1=? і ^n, (1.1) с гамильтонианом
N
Н = -^Z'1''1'.'111 - x^ + - ^)2)' (1-2) i,j= 1
Скобка Пуассона, отвечающая (1.1), имеет вид:
N
Jf „}-у1 (Ё1ЁМ--Ё1Ё8_\ (13)
V,8i -Z1Ti Qyi Oyi Oxi ¦
Система уравнений (1.1) обладает, помимо энергии (1.2), первыми интегралами, связанными с инвариантностью гамильтониана относительно параллельных переносов и вращений системы координат:
NNN
Q = YlTiXi, Р = I=Y,ri(xi+Vi)- (1-4)
і=1 г=1 г=1 jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
257
Набор интегралов (1.4) не инволютивен:
N
{0,Р} = ?г<, {RI} = -2Q, {Q,I}=2P. (1.5)
і= 1
2. Комплексная форма уравнений вихревой динамики. Приведем еще одну форму уравнений движения вихрей на плоскости (1.1), которая более удобна для исследования частных решений общей задачи N вихрей (см. также §6). Зададим положение вихрей при помощи комплексных чисел вида Zjs = Xk + іукі к = 1, .... N, где (:/;?,?) декартовы координаты к-то вихря.
С учетом (1.1) (1-3) уравнения движения можно представить в форме [117]
N
k=i,...,N, (1.6)
где Zk = Xk — iyk комплексно-сопряженные числа.
Если в правой части (1.6) убрать комплексное сопряжение, то при равных иптспсивпостях Г/. = Г; = Г, к, I = 1, ... , N получается интегрируемая система при любых N [188]. Действительно, дифференцируя получившиеся уравнения по времени, получаем известную систему Калоджеро—Мозера (§ 3 гл. 5)
N
3. Представление в относительных переменных. Уравнения (1.1) описывают абсолютное движение вихрей по отношению к фиксированной системе координат на плоскости. Наличие первых интегралов (1.5), связанных с инвариантностью системы относительно группы движений плоскости Е(2), позволяет выполнить редукцию системы к относительным переменным.
В канонической форме процесс редукции, аналогичный переходу к координатам Якоби в небесной механике [188, 258], приводит к исключению двух степеней свободы. Понижение на три степени свободы возможно лишь в частном случае — ^ Г; = О, P = Q = 0, при этом интегралы (1.5) находятся в инволюции. Ниже (§ 3) этот случай более подробно разобран для задачи четырех вихрей. 258 Глава Ji
Рассмотрим редукцию к относительным переменным в алгебраической форме (§8 гл. 1). Формальное ее изложение и алгебро-геометрическал интерпретация приведены в § 6. Здесь мы ограничимся более наивным описанием.
В качестве новых координат выберем квадраты взаимных расстояний
Mij = (Xi - Xj)2 + (Уі - Уі)2 (1.7)
и удвоенью ориентированные площади треугольников, натянутых на тройки вихрей i,j,k
Aijk = (г,' - Г;) Л (Г* - Г,;), Г; = (ж/, J/j). (1.8)
Функция Гамильтона в относительных переменных
N
я =Er^ln m^ (1-9)
і J=1
Прямая проверка показывает, что набор переменных Mij, Aijk замкнут относительно скобки (1.3):
(Mii,Мы} = 4(^-? - Aijl + 4(±-6а - Jjl)Aij,.
[Mij, Aklm} = Q-Sik - ^Sjk) (Mli - Mim + Mmj - Mjl) + + Qsa - ^7?-/) (Mmi - Mik + Mkj - Mjm) + + Qtim - fT^im) (Mki - Mil + Mlj - Mjk), [Aijk, Aimn] = -^(Ajkn — Ajkm) + -^(Ajki — Ajkn) + (1.10)
Li Li
+ Ajkm — Ajki) + ~^(Аікт — Aikn) + 1 і 1 j
+ -ргЧAikn — Aikl) + ^(Діи — Aikm) + Lj 1 j
+ (^ijn - Aijm) + Aijt - Aijn) + ^(Aijm - Aiji).
L к Lk Ii jj 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
259
Скобка (1.10) еще не определяет пуаесонову структуру, так как не удовлетворяет тождеству Якоби. Это связано с избыточностью переменных М, Д. Действительно, их полное число равно Сдг + Сдг = Cj\r+1' в то время как число независимых расстояний, через которые могут быть выражены все остальные М, Д, равно лишь 2N — 3, что приводит к наличию линейных и квадратичных соотношений
