Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Используем формулы перехода от координат («і,«2) к сферическим координатам (0,<р)
- COS Q2 sin 01 — cos Ctl SinA2 COS0 = -;-.
sin a cos tp =
sina
cos «і cos 02 — cos a2 cos 0i
sin ct
для того, чтобы проследить изменение кривой по которой движутся точки либрации в зависимости от соотношения масс (Jao не дает полной § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 241
картины, так как сами тела при изменении масс тоже двигаются). В л.
первом порядке по получим
56 = О,
cos «0 SiIif (7.12)
^=R-
b cos a sin во т
Как видно, при «о < ж/Ъ(9 < в*) и а < 7г/2 выполнено неравенство Stp < 0, то есть кривая сдвигается в сторону легкого тела. При а0 > 7г/3 (9 > 9*), а < 7г/2 в сторону тяжелого тела. А при а > ж/2 наоборот, с точностью до замены 9* на в**. что находится в полном соответствии с приведенными ранее результатами (рис. 20).
Случай L2. Для L2 выполним аналогичное разложение по ^1, в результате получаем выражение для foo
«і = «о + Saa,
а2 = CKq — 5
sh2 ? th а0
Sn - - дт
да°~ 6 elm гп-
(7.13)
В данном случае Saa < 0 уже для любых параметров, то есть точка либрации всегда будет смещаться к более легкому телу. Точно так же вычислив S9 и Stp получим
S9 = 0,
chaoshf s (7-14)
Как мы видим Sp всегда больше пуля, то есть точки либрации на плоскости (9, <р) смещаются к более тяжелому телу.
6. Области Хилла. Во вращающей системе координат для ограниченной задачи трех тел на S2 уравнения движения допускают интеграл Якоби
у + U*{q) = h = const, 242
Глава 2
где Ux — приведенный потенциал. При фиксированном значении h движение частицы происходит в области {q Є S2 | h — Ut (q) ^ 0}, которая называется областью Хилла [4].
На рисунке 24 изображена полная бифуркационная диаграмма для точек либрации на S2. В таблице 1 приведены количества коллинеар-ных и неколлинеарных точек либрации в каждой из областей диаграммы 24. Приведем здесь области Хилла лишь для некоторых областей диаграммы 24, которые представляют наибольший интерес как случаи существования устойчивых точек либрации.
На рисунках 25, 26 и 27 представлены области Хилла на S2 при значениях параметров, соответствующих областям I, III, IV на рис. 24 соответственно. Мелкие детали диаграмм вынесены на отдельные рисунки. Точки 1-5 па всех рисунках являются обобщением классических точек Лагранжа и Эйлера. Точки 6, 7 и 10 — новые коллинеарные точки, а 8 и 9 новые лагранжевы точки. В области I (рис. 24) точка 6 является минимумом потенциальной энергии, точки 4 и 5 — ее максимумами, а все остальные точки — седлами. При переходе границы между областями I и II рождаются еще 2 пары лагранжевых точек либрации, что однако не сказывается на устойчивости остальных точек. При переходе через границу II-III одна из вновь образовавшихся пар лагранжевых точек сливается с эйлеровской точкой и меняет ее тип на минимум эффективного потенциала. Таким образом, в области III существует две устойчивые точки 6 и 7. Далее при переходе границы III-IV эйлеров-ские точки 2 и 6 сливаются и исчезают, и в области IV остается одна устойчивая эйлеровская точка либрации.
-1
-0.8 -0.6
In2Zm1
-0.4 -0.2 - 0
Таким образом, наличие кривизны приводит к тому, что появля- § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленнолі пространстве 243 Таблица 1. Количество точек либрации в областях, приведеных на рис. 24.
N области Коллинеар- Неколли- N области Коллинеар- Неколли-
ные неарные ные неарные
I 6 2 X 4 0
II 6 6 XI 4 4
III 6 4 XII 4 2
IV 4 4 XIII 6 2
V 4 2 XIV 4 2
VI 2 4 XV 2 2
VII 4 4 XVI 2 4
VIII 2 0 XVII 2 0
IX 4 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 i ¦ ii
1.54 1.55 1.56 1.57
Рис. 25
ются новые эйлеровские точки либрации, которые при определенных параметрах, в частности областях I, III и IV (рис. 24), являются устойчивыми.
Замечание 2. Для плоскости Лобачевского L2, пользуясь аналогом однородного поля, приведенного в § 5, можно получить уравнения Хилла в L2 [4].
7. Частные решения неограниченной задачи п тел. Для евклидова пространства в задаче п тел, при произвольных массах, существуют конфигурации, которые равномерно вращаются без изменения расстояний между телами. В частности, при равных массах на плоскости K2 положениями относительного равновесия являются пра- 244
Глава 2
О 0.5 1 1.5 2 2.5 fa
9
б
5
З 2 1
u
10
Рис. 26
1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 I,V1I11I,","Iі
О о
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Рис. 27
вильиые многоугольники. Аналогичные конфигурации существуют и в искривленных пространствах.
В отличие от E3 и L3 топология S3 обуславливает существование статических конфигураций в задаче п тел. На двумерной сфере такие конфигурации для равных масс задаются вершинами правильных многогранников (платоновы тела). Вследствие существования антиподаль-ного центра разрешены не все платоновы тела, а только тетраэдр и додекаэдр. «Пространственные» равновесные конфигурации для равных масс связаны с классификацией правильных многогранников. Она бы- § 7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве 245
