Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
L = 2 'У ] TnBlivBliaXvXa.
T
Она может быть представлена как функция квазискоростей oj?v [18]:
L = ^ J?vU!?(rU!v<7, (8-2)
где u)?v = —u)v? = Blia-1 Bav являются элементами алгебры .so(4) и J?v = ^^ TriXtlXu проекции тензора моментов инерции на оси жестко
T
связанные с телом. Записывая уравнения Пуанкаре—Четаева на группе 50(4) (§6, гл. 1), получим следующие коммутационные уравнения
M=[M,w], (8.3)
здесь [•, •] матричный коммутатор, а элементы матрицы момента M определяются формулой: 248
Глава 2
Запишем систему с помощью векторов L, 7Г, компоненты которых связаны с компонентами матрицы кинетического момента M по формулам
Li = ^sijkMjk, Tri = Moi, к = 1,2,3. (8.4)
В векторном виде
L = L X M + тг X M
дЪ д7Г (8.5)
OL отт
Уравнения (8.5) являются уравнениями Гамильтона на алгебре ао(4) в стандартном матричном представлении (см. § 1 гл. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, в которой J = (Iiag(Ao5Ai5A2iAs), функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных L,7г может быть записана в виде
H= i(L,AL) + i(7r,B7r), (8.6)
где
А = diag
В = diag
A2 + A3 ' Ai + A3' Ai + A2 111
Ao + Ai Ao + A2' Ao + A3
Эти уравнения были изучены и проинтегрированы в прошлом веке В.Фрамом и Ф. Шоттки (см. §1 гл. 2).
Необходимо отметить, что в отличие от свободного движения твердого тела в евклидовом пространстве (задача Эйлера—Пуансо), случай интегрируемости инерционного движения па S3 и L3, является существенно более сложным как с точки зрения процедуры интегрирования, так и качественного (топологического) анализа движения [134].
С некоторой долей неточности можно сказать, что отличие от плоского пространства заключается в том, что движение тела по сфере S3 и его вращение теперь не разделяются, поэтому вращение тела оказывает влияние на движение системы как целого. (Этот эффект для L2 был отмечен еще Н.Е.Жуковским [62].) § 8. Движение твердого тела с. гиростатом 249
2. Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат. Рассмотрим уравновешенный гиростат в S3 механическую систему, состоящую из двух тел: «несущего» T1 и «несомого» T2, скрепленных так, что распределение масс системы не меняется со временем.
Свяжем с каждым из тел свою систему координат. Пусть В, Q матрицы перехода от абсолютной системы координат (q) к системе «несу- 250
Глава Ji
щего» тела (ж), и от системы «несущего» тела к системе «несомого» (у) соответственно
q? = BflvXl,, Xi = Qf^yl,. (8.7)
Введем следующие обозначения:
J?V = J] TnXllXv — компоненты матрицы моментов инерции Ті+т2
всей системы в системе координат несущего тела (здесь E обозна-
ti+t2
чает суммирование по элементам первого и второго тела);
{J'i)ii,v = — моменты инерции несомого тела в связанной
t2
с ним системе осей;
(Ji) = YlmxVxV И (J^)1IU = Y^mxIixV — моменты инерции несу-ti T2
щего и несомого тела в системе, жестко связанной с несущим телом;
W2 = Q-1Q — матрица угловых скоростей несомого тела в связанной с ним системе координат;
W = B-1B, Ll>2 = Qw2Q-1 = QQ-1 — угловые скорости в системе отсчета несущего тела.
Условие постоянства распределения масс Jftv = E TnXllXv =
T1+T2
= const, (то есть Jflv = 0) эквивалентно равенству
W2J2 =J2W2. (8.8)
Учитывая, что «несомое» тело имеет закрепленную ось в «несущем», найдем решения уравнения (8.8) в виде:
(0 0 0 0 \ / A0 0 0 0 \
0 0 0 0 0 Ai 0 0
W2 = 0 0 0 а , J2 = 0 0 A2 0
^ о 0 —а о/ I u 0 0 A2 /
В дальнейшем будем полагать, что a = a(t) заданная функция времени. Это условие приводит к тому, что не появляется дополнительных степеней свободы, обусловленных несомым телом.
Функция Лагранжа системы равна сумме кинетических энергий обоих тел. С учетом соотношений (8.9) ее можно представить в виде
L = [(Ji)tiv + (J2)lIv) + Ufla-Kav,
(8.10) § 8. Движение твердого тела с гиростатом
251
где ш — введенные выше угловые скорости несущего тела, а коэффициенты матрицы кинетического момента несомого тела К = J2a»2 +W2J2 являются заданными функциями времени. В отличие от плоского пространства К зависит не только от направления оси вращения по и от точки скрепления тел.
Уравнения движения имеют вид (8.3), но теперь Miim = OLjOuJliu = = J?<T^<TV + Wflt7Jt7,, + K?V, Jfla = (Jl)?a + (^W При K(t) = Const, (a(t) = const) получается задача об уравновешенном гиростате.
Уравнения движения могут быть записаны также в форме уравнений Гамильтона на алгебре so(4) в векторном виде (8.5). При этом гамильтониан для уравновешенного гиростата можно представить в форме
h = І (L-P,A (L-P)) + І (тг - S, B(tt-S)), (8.11)
где компоненты векторов Р, S выражаются через матрицу гиростати-ческого момента по формулам
Pi = ^ijkKjk, Si = Koi, г,j,к = 1,2,3.
По-видимому, система (8.5) с гамильтонианом (8.11) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для L3) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона.
