Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
269
группы движения сферы). Для интегрируемости задачи четырех вихрей не хватает лишь одного интеграла.
Ограниченные задачи динамики вихрей сводятся, как правило, к исследованию двилгения одного вихря очень малой интенсивности под влиянием остальных вихрей, движущихся независимо. Его движение связано с решением задачи адвекции — то есть определения течения жидкости при заданном движении вихрей. Очевидно, что эта задача сводится к исследованию интегрируемости гамильтоновой системы с полутора степенями свободы (одностепенной системе, содержащей явно время).
§ 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
Задача о движении двух вихрей на плоскости была полностью изучена Г. Гельмгольцем [74, 117], который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра завихренности
Г =rVriIpzr2, (3.1)
і 1 + і 2
с частотой
Q =
Гі + Г2
2тгM '
где Гі,Г2 — радиус-векторы первого и второго вихрей, Tft — интенсивности точечных вихрей, M — квадрат взаимного расстояния. Центр завихренности при этом движется равномерно и прямолинейно. При условии Гі = Г2 центр завихренности находится па бесконечности, а два вихря движутся поступательно.
Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю. Здесь общей ситуацией является вращение вокруг оси, проходящей через центр сферы и аналог центра завихренности (точка, расположенная на хорде, соединяющей два вихря с радиус-вектором (3.1)).
Как и в плоском случае, расстояние между вихрями остается постоянным. Угловая скорость такого вращения
!!=^14+i^2-iIm' <3'2) 270
Глава Ji
где R — радиус кривизны сферы. M — квадрат расстояния (хорды) между вихрями. При условии Гі = —два вихря движутся по сфере по двум одинаковым параллелям, расположенным по разные стороны от экватора, что было отмечено Громекой [56].
Первой нетривиальной интегрируемой системой вихревого движения на плоскости является задача о трех вихрях. Несмотря на многочисленные работы, первыми из которых являются диссертация В.Грёбли 1877 г. [243] и исследования Гринхилла [242], достаточно полной и наглядной классификации движения не существует до сих пор. С точки зрения проблем интегрируемости па эту задачу обратил внимание Пуанкаре в трактате по теории вихрей [306]. Им был явно выписан полный набор некоммутативных интегралов. Замечательный исторический обзор результатов классиков, полученных для задачи трех вихрей, содержится в работе [189].
В современный период задача движения трех вихрей на плоскости изучалась в работах [325, 126, 184, 327, 313], с точки зрения топологического анализа — в [145, 173]. К сожалению, эти работы мало что прибавили к достижениям классиков как в наглядности, так и в полноте описания движения. Их основное содержание сводится либо к громоздкой геометрической интерпретации движения и компьютерному моделированию отдельных траекторий, либо к некоторым общим топологическим конструкциям, не увязанным с физическим поведением системы [145]. Отчасти это связано с тем, что задача трех вихрей на плоскости пе принадлежит к тем интегрируемым системам, полный анализ которых возможен в классе достаточно простых (например, эллиптических) специальных функций (из-за логарифмических слагаемых в гамильтониане, общее решение имеет бесконечно-листное ветвление на комплексной плоскости времени). Исключение составляют некоторые частные случаи, например, случай равных интенсивности вихрей, достаточно подробно исследованные. По сравнению с задачей трех вихрей на плоскости, движение трех вихрей па сфере, также являющееся интегрируемым, практически не изучено.
Замечание. Задача трех вихрей является интегрируемой и па плоскости Лобачевского. На ней мы не останавливаемся вследствие отсутствия реальной физической интерпретации. Отметим только, что в этом случае динамика вихрей утрачивает многие интересные особенности, присущие движению вихрей на сфере. Как и в небесной механике, эта система более родственна плоской ситуации.
Мы даем здесь новый анализ [206], основанный на алгебро- § 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
271
геометрическом исследовании приведенной системы (1.9), (2.13) а затем и абсолютного движения, без использования явных квадратур. Такой подход, опирающийся на представление уравнений движения на алгебре [206], позволяет установить некоторые аналогии между задачей трех вихрей и случаем Эйлера—Пуансо в динамике твердого тела, а также получить более наглядное описание движений системы при помощи аналогии с системой Лотки—Вольтерра [49].
1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтерра. Рассмотрим подробней алгебру скобок (2.16) задачи трех вихрей на сфере (случай плоскости получается предельным переходом R —> сю).
[Mi, Mj} = -4akA, {Мі, Д} = (Oj - ak)Mi + (aj + Ofc)(Му - Mh) + akMk - ,,,Mj).
[MuM2) = -ф-А, {М3,М1) = -^А, {М2,М3} = -^Д.
ІЗ і 2 Il
(3.3)
Здесь Mk = Mij — квадраты расстояний между вихрями, Д — удвоенная ориентированная площадь треугольника, натянутого на три вихря, ak = 1/Гй обратные интенсивности. Здесь и далее будем полагать, что индексы i, j, к принимают соответственно значения 1, 2, 3 и их циклические перестановки. Эта скобка якобиева без всяких ограничений.
