Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
п
OLk = ^AkiOLi, к = п + 1,... ,N. (3.8)
г=1 jj 3. Системы Калоджеро—Мозера 369
Переменные (3.7) определяют квадратичную пуассонову структуру
{ai,bj} = -SijO2l, {ak,bj\ = -AkjO2k
2 k = n + 1,... ,N, i,j = 1,... ,п, (3.9)
в которой Oi.... ,ап, Ь\,... ,Ьп образуют 2п-мерную подалгебру, изоморфную прямой сумме двумерных подалгебр.
Функции Казимира скобки (3.9) получаются с помощью соотношений (3.8)
п
^ = k = n + l,...,N, (3.10)
г=і
причем реальные движения лежат на уровне Fk = 0.
Гамильтониан представляется в виде квадратичной формы («волчок Эйлера» на квадратичной алгебре)
п N
н = \ + E SkaI- (3-11)
i.j
Для потенциалов типа (3.4) и (3.5) выберем образующие, аналогичные (3.7), используя гномоническую проекцию для окружности (гиперболы) радиуса R
h = ^{?i, р), г = 1,...,71,
ак = ^ctg(aA,q), Ar = 1,... ,JV для (3.4), (3.12)
ак = 4 cth(aA,q), k = l,...,N для (3.5). it
Скобка Пуассона в новых переменных записывается в виде
{а»Лі = "Mai ± Л)'
г,J = I,... ,?г, к = п + 1,... ,N, (3.13)
{ak,bj} = -Akj(а2к ± ),
где знак плюс соответствует окружности, минус — гиперболе. Алгебра (3.9) получается контракцией (R —> оо) «искривленных» скобок (3.13). 370
Глава Ji
В новых переменных гамильтониан совпадает с (3.11), а функции Казимира (3.10) имеют вид
п
Fk =arctgi Awarctg ^t5 k = n + l,...,N. (3.14)
і=1
(для потенциала (3.5) необходимо заменить arctg —»¦ arcth), причем для реальных движений Fa=O, к = п + 1,... , N. Замечание 3. Используя представление для V функции
Р(ж,Ш1,Ш2) = -JT-- + const.
sn (х, к)
систему (3.1) с потенциалом (3.0) также можно записать с алгебраической скобкой и квадратичным гамильтонианом.
2. Представление Лакса—Гейзенберга систем Калоджеро— Мозера. Общий метод построения представлений Лакса—Гейзенберга для систем типа (3.3) был предложен Мозером [294] (см. также [137]), который доказал таким способом интегрируемость системы (3.2). L-A-пара для потенциала (3.5) найдена в работе [215]. Общий вид потенциала (3.6) для интегрируемых систем Калоджеро—Мозера найден независимо друг от друга несколькими авторами [299, 138, 336].
В [299] М. А. Ольшанецкий и А. М. Переломов указали интегрируемость обобщенных цепочек Калоджеро—Мозера, связанных с классическими простыми алгебрами Ли — An, Bn, Cn, BCn, Dn. Векторы оц в (3.1) определяются при этом системой всех положительных корней соответствующей алгебры Ли, в отличие от цепочек Тоды, где а; — соответствуют только простым корням алгебры. Для обычной цепочки Калоджеро—Мозера оц могут быть взяты в форме оц-j = е; — e.j, і < j ^ п, где et стандартный ортонормированный базис в К™.
Указанные выше представления Лакса Гейзенберга систем Калоджеро—Мозера пе содержат спектрального параметра. Однако в отличие от многомерных обобщений динамики твердого тела (см. §§ 9,10 гл. 2) это не препятствует полноте набора интегралов TrLft. L — А-пред-ставление со спектральным параметром для обычной цепочки (An) найдено в [109].
Обобщение анзатца Мозера и построение представлений Лакса со спектральным параметром для всех простых алгебр Ли (включая исключительные) получено совсем недавно Докером (D'HokerE.) и Фонгом (PhongD.H.) [226]. В этой работе найдены также интегрируемые jj 3. Системы Калоджеро—Мозера
371
цепочки, связанные с некоторыми пополненными корневыми системами алгебр Ли.
Несмотря на интегрируемость систем Калоджеро—Мозера ни для одной из цепочек до сих пор, видимо, не найдено бигамильтопово описание.
3. Метод проектирования, отображение рассеяния.
М. А. Олыпанецким и А. М. Переломовым [137] предложено явное описание решений систем Калоджеро—Мозера, с помощью проектирования геодезического потока на некотором пространстве матриц. Интерпретация метода проектирования с точки зрения отображения момента и при редукции по симметриям приведена в [257].
Каноническое отображение S: {p~,q~) —>¦ (р+5<?+); определяющее процесс рассеяния для цепочек, допускающих асимптотическое свободное поведение
qi{t) ~ pft + qf, t —>¦ dszcc
является интегрируемым. Для обычной цепочки (3.3) с потенциалом (3.2) при w = 0 отображение рассеяния выглядит особенно просто [137]
Pn-I +1 = Pi 1 ¦ , + _ 1, = 1,...,п.
ІП-І+1 — cIi '
4. Задача Якоби. Интегрируемость системы трех частиц па прямой, взаимодействие которых обратно пропорционально квадрату взаимных расстояний, была известна еще Якоби [170]. Он показал, что данная задача допускает разделение переменных при произвольных массах частиц и константах взаимодействия.
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
* = ? E^-ETriV (3-15)
г—1 i<j [q> Ъ)
Перейдем к координатам Якоби
miqi + rn2q2 + rn3q3
R =
т і + т2 + т3 т,2<12 + m3q3
Xi = Qi
т2 + т3
X2 = q2 - Q3. 372
Глава Ji
Кинетическая энергия при этом остается диагональной
T = ^MR2 + ^M1X2 + \м2х2, М = ш1+ ш2+ то,, M1 = Г.1!"!*^ . M2 =
ті + т2 + гп3 ¦
TO1 + т2'
а потенциальная не зависит от R,.
Введем полярные координаты г, ip в плоскости хі,х2 по формулам
