Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Скобка Ли—Пуассона, задаваемая структурными константами (1.22), вырождена, ее функция Казимира имеет вид:
F = (-7^! + (а - 8)M1M2 + ?Ml)Yz, (1.23)
где
_ - 27Mi + (y^/fry + (а - S)2 + (« - Л))Af2
2 7М1 + (y/A?j + (а - б)2 -(а- S))M2 '
2 _ _a + S_
~ y/A?j+ (a-S)2'
В работе [84] показано, что в случае aS — ?j ф 0 система не имеет инвариантной меры с суммируемой плотностью. Однако, наличие двух интегралов движения влечет за собой существование интегрального инварианта, который можно интерпретировать как сингулярную инвариантную меру. Ее плотность р(М) имеет довольно сложный вид:
р(М) = - [(аМ, + ?M2)2(a2M1 + с2М2) +
+ 2abM1M2(aM1 + ? M2) (7 M1 + SM2) + + +(7M1 + SM2)2(b2M2 + C2M2)] ,
II/II2 = (сМ3)2 [(а2 + 72)М2 + 2(a? + ^M1M2 + (?2 + O2)Mf] + + [aaM2 + (a? + by)M1M2 + bSM2f ,
a a, b, с — диагональные элементы тензора, обратного тензору инерции.
Отметим, что хотя трехмерная система (1.21) интегрируема в отмеченном выше смысле, ее поведение сильно отличается от характера решений алгебраически интегрируемых систем типа волчка Эйлера Пуансо. Обсуждая различные определения интегрируемости, Дж. Биркгоф советовал не забывать указание А. Пуанкаре, что система может быть только более или менее интегрируемой [11].
Как правило, в многомерных квазиоднородных гамильтоновых системах (п > 3) уже не встречается случаев, когда существует сложный (трансцендентный) дополнительный интеграл и система является или 360
Глава Ji
алгебраически интегрируемой или стохастической (многозначный интеграл, указанный в [34, 35], относится к системе, которая, видимо, не является гамильтоновой).
2. L — А-пара и бигамильтоновость цепочек Тоды
1. Незамкнутая цепочка, отображение рассеяния. Метод построения первых интегралов и доказательство интегрируемости незамкнутой цепочки Тоды и ее обобщений основывается на представлении Лакса—Гейзенберга L = [L, А] (§4 гл. 1). Без спектрального параметра для цепочки (1.8) оно впервые получено Флашкой [237]:
L =
(Ь і
Я,1
Vo
«і Ь2
а„-1
О \
ап-1 Ъп
( о
А =
-Oi
Oi
О
О \
V о
где CLi
= е«(9і-9;+і), І = l,... ,n - 1, Ьі =Pi і = 1,..
О-п-1
. ,П.
dn-1
О /
(2.1)
Здесь и далее интегралы движения могут быть выбраны в форме
Ik=TiLk. (2.2)
-. In га —1
При этом гамильтониан H = - Tr L2 = - ^ Ь\ + ^ а\.
2iti
i=i
Независимость интегралов (2.2) следует из различия их степеней однородности по импульсам hi = pi. Доказательство инволютивности, данное Мозером [294], основывается на асимптотически свободном поведении: Ui —> О при t, —> ±оо (частицы разбегаются). Интегралы (2.2)
п
в этом случае принимают вид Ik = рк, скобка Пуассона {Ik,I{\ = 0.
;=і
В силу того, что функция {Ik, Ii} также интеграл движения, интегралы остаются ипволютивпы во все моменты времени.
Для величин p±,q±, описывающих асимптотическое поведение системы при t ±00
4h{t)=p+t + q++0{е~м), t ->• +00, Qk(t) = Pk t + С + 0(eSi), t -»• -оо,
S > 0, к = 1, ... , п, (2.3) § 2. L — K-пара и бигамильтпоновосгпь цепочек Тоды
361
справедливы следующие соотношения [137] ї'п-i+l = Pi )
яї-і+і = я7 + С?<Ыр"), (2'4)
і
где
Л , _, f HpJ -рТ)> і < і-.
Ik-lnIPj -Pi 3>h
с — некоторая константа.
Основываясь на представлении (2.1), М. А. Ольшанецкий и А. М. Переломов получили геометрическое описание потока цепочки Тоды, как проекции геодезического потока на пространстве симметрических положительно определенных матриц [137]:
QiW =Qi(O) + AnA^{t\ i = l,...,n, (2.5)
где А, — нижний правый минор порядка і матрицы e2Lo<. Матрица Lo — это L-матрица (2.1) в начальный момент времени t = 0. (Соотношения (2.4) могут быть также получены при помощи проекции (2.5)).
2. Отображение рассеяния. Уравнения (2.4) задают интегрируемое отображение S: (p~,q~) (p+,Q+), называемое отображением рассеяния [294, 137].
Более корректно, отображение рассеяния должно быть определено па множестве асимптотических траекторий (2.3), которое, очевидно, инвариантно относительно действия однопараметрической группы преобразований
Ф: (p,q) —>(p,q + sp). (2.6)
Первые интегралы потока (2.6), параметризующие траектории рассеяния (2.3) могут быть выбраны в форме
Pi, Xi = щ - Pi, і = 1,... , п, (2.7)
(х — проекция радиус-вектора на плоскость перпендикулярную р). 362
Глава Ji
Формулы (2.7) задают отображение M2n на подмножество, определяемое соотношением
(х,р)=0. (2.8)
В связи с тем, что действие группы (2.6) гамильтоново с гамильтонианом [120]
Я = Ip2, (2.9)
отображение рассеяния допускает интеграл энергии H = E. Многообразие, задаваемое уравнениями (2.8), (2.9), совпадает с T*Sn~1, на нем определено отображение рассеяния (S: —> TtSn-1) для траек-
торий с фиксированной энергией.
Поясним геометрический смысл данной конструкции на примере натуральной системы с двумя степенями свободы. В этом случае (2.8) и (2.9) при Я = const определяют T^'S1, то есть цилиндр. Угловая координата ip на нем соответствует направлению скорости налетающей или рассеивающейся частицы, а координата вдоль образующей I соответствует наикратчайшему расстоянию асимптотической траектории до начала координат (см. рис. 72).
