Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что определение поля симметрии системы (А.1) следует из условия коммутируемости дифференциальных операторов, задаваемых уравнениями (А.2) и (А.4). Очевидно также, что если F(x) есть интеграл (А.1), то производная Ли функции F{x) вдоль поля w(x) также является интегралом движения.
Справедливо следующее утверждение: Теорема ([34]). При условии
Ь\а32 + &2аіз + &за2і + к2а32а13а21 = 0, ац = а,{- aj, (А.6)
к > 1 — нечетное число, уравнение (А.2) допускает однородное поле симліетрий степени k: w = WkBjd7?;
п
Wk = X П(T2^r1X2)W0, п=(к- 3)/2, (А.7)
где X = diag(Mi, M2, M3),
Ъ3
-та13 -hi
причем вектор Wo определяется из решения системы линейных уравнений TkWo = 0- Недостающий интеграл системы (А.2) получается
действием поля симметрии w на интеграл I3 = і (7,7). Он линеен
по 7; Ii = (Р,7) и является однородной формой степени k + 1. Таким образом, для системы уравнений (А.2) указано счетное семейство алгебраически интегрируемых случаев с интегралами движения четной степени по переменным М, 7.
замечание 6. Можно указать явную форму дополнительного интеграла и при остальных нечетных к. Случай к = — 1 обсуждается в работе [33], а наиболее полные результаты содержатся в [34, 35]. Можно показать, что если ні ф «2 ф «з ф «і при иррациональных к решение ветвится па копечпо-листном накрытии комплексной плоскости времени. Оно также ветвится при четных Вероятно, что при рациональных |&| ф 2га, га Є N решение имеет конечнолистное ветвление и существует дополнительный рациональный интеграл.
Несмотря на то, что система (А.4) имеет при нечетных к из равенства (А.5) полный набор интегралов (и сопряженных им полей симметрии), вопрос о гамильтоновости этой системы (и гамильтоновости Распознавание гамильтоновости динамических систем 387
поля симметрий (А.7)) остается открытым. Случай k = — 1 является исключительным, так как система бигамильтонова на алгебрах е(3) и яо(4). Это связано с тем, что случай к = — 1 линейным преобразованием координат приводится к случаю к = 1, для которого известны две согласованные пуассоновы структуры (§§9,10 гл. 2).
Наша гипотеза для систем (А.4) состоит в том что, исключая случаи к = 0, ±1, система не является гамильтоновой с алгебраическим структурным тензором JtK Более того, не существует такого алгебраического якобиева бивектора J1K который является тензорным инвариантом (А.4), т. е. CvJlj = 0 (Cv — производная Ли вдоль поля (А.4)).
Замечание 7. Для системы (А.2), исключая случаи к = ±1, до сих пор не найдено спектральное представление Лакса и не решен вопрос о возможности интегрирования в тэта-функциях. Возможно, что одним из препятствий к этому является отсутствие пуассоновой структуры. Действительно, представления Лакса со спектральным параметром в динамике пайдспы только для интегрируемых систем, являющихся гамильтоновыми.
Отметим, однако, что в пользу гамильтоновости (А.4) говорит тот факт, что по отдельности две трехмерные системы из (А.4) являются гамильтоновыми. Первая из них представляет собой уравнения Эйлера на алгебре ,чо(3) с гамильтонианом Я = |(АМ,М). Вторая, после
разрешения M = М(?) представляет собой также гамильтонову неавтономную систему па зо(3) с гамильтонианом Я = -(BM(t),7). Из этого следует, что при любых матрицах А и В движение системы не может быть хаотическим и определяется из решения линейной гамильтоновой системы с периодическими коэффициентами. Однако, при этом дополнительный первый интеграл и, возможно, пуассонова структура не являются алгебраическими в переменных (М,7).
2. Обобщение системы Жуковского—Вольтерра. Рассмотрим систему уравнений
M = (М + g) х AM, g = (gi,яг,йз), A = diag(ai,a2,a3), (А.8)
описывающей движение уравновешенного гиростата по инерции. В (А.8) А = I-1, I — тензор инерции, g — постоянный вектор гиростатического момента. Первые интегралы:
Fi = (M + g,M + g), F2 = i(AM, М) (А.9) 388
Приложение А
были указаны Н.Е.Жуковским [63] при исследовании задачи о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью, а интегрирование в тэта-функциях было выполнено В. Вольтерра [333].
Уравнения (А.8) определяют только эволюцию вектора кинетического момента в осях, жестко связанных с твердым телом. Для описания положения твердого тела в пространстве (при игнорировании угла прецессии) к уравнениям (А.8) следует добавить уравнения Пуассона -у = 7 X AM. Полученную шестимерную систему можно записать на алгебре е(3) с гамильтонианом
H = i(AM,M) + (М, А), А = Ag.
В [33] была приведена одна модификация системы Жуковского— Вольтерра, которая состоит в том, что в уравнениях Пуассона надо поменять знак с плюса на минус 7 = AM х 7 и рассмотреть совместную систему:
M=(M + g)xAM, 7 = AM X 7.
Система (А.10) обладает интегралами F4, F2, F3 = (7,7), стандартной мерой и для ее интегрирумости не хватает еще одного первого интеграла (в классическом случае этим интегралом является интеграл площадей). Как показано в [34], к анализу уравнений (А.10) приводит ряд одна задача из неголономной механики — качение неголономного шара Чаплыгина с гиростатом по сфере.
