Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная с Шази [4], считается, что Yi . рассеивающие системы с ипфипитпыми
траекториями в некотором смысле явля-P ются интегрируемыми. При этом в качест-
ве интегралов предлагается рассматривать значение импульсов на бесконечности, ко-торые определены для каждой точки фазового пространства [245]. Однако такое
представление об интегрируемости являет-Рис. 72 _ ,
ся наивным. Для инфинитных траектории
с физической точки зрения речь может идти о хаотическом или регулярном поведении системы при многократном повторении процесса рассеяния для одной точки фазового пространства или о соответствующем поведении некоторой фазовой области даже в процессе одного рассеяния.
Указанные выше интегралы не определяют интегралов отображения рассеяния в отличие от обычных первых интегралов системы типа (2.2). Такие интегралы, определяемые некоторой аналитической (как
O § 2. L — K-пара и бигамильтпоновосгпь цепочек Тоды
363
правило, рациональной) функцией F(q, р), обладают для всех известных интегрируемых систем свойством
позволяющим корректно определить интегралы отображения рассеяния. Интегрируемые и исиптсгрирусмые отображения рассмотрены в [254, 255].
3. Периодическая цепочка Тоды. Алгебраическое описание цепочек. L — А-пара (2.1) может быть легко обобщена для периодической цепочки тоды (qn+1 = (її) (для этого в правый верхний и левый нижний угол матриц L. А необходимо поставить ±on = ±ea^q"~qi">). Хотя доказательство полноты интегралов (2.2), основанное на асимптотически свободном поведении, в данном случае неприменимо, можно показать, что данное L — А-представление влечет интегрируемость. Для явного интегрирования в тэта-функциях и построения переменных действие-угол согласно [132] необходимо предъявить представление Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром.
О.И.Богоявленским [18] предложен метод построения L — А-пары со спектральным параметром для обобщенных цепочек Тоды (1.1), векторы Oil,... ,CtN которых определяются обычными и пополненными корневыми системами простых алгебр Ли (схемами Дынкина). При этом обычная незамкнутая (1.8) цепочка связана со схемой Дынкина алгебры An, а замкнутая (1.9) — с пополнением этой схемы максимальным корнем, так что образуется цикл. Соответствующие L, А матрицы имеют вид
t—> — ОС
lim F(q + ip,p) = limF(q + ip,p),
— ос tf+oo
/ &1 Лої (I1 / А 1>2
ап/А \
AOn-I
\Аоп ••• оп_ i/A Ъп J
Xa
(2.10)
/ 0 Ao1 -oi/A О
ап/ А \
Xa
'П — 1
V -Xan
я„„_і/А О / 364
Глава Ji
Описание интегрируемых цепочек Тоды, как систем на орбитах алгебр Ли, содержится в [324, 132]. Цепочки, связанные с пополненными схемами Дыпкипа, могут быть вложены в бесконечномерную алгебру петель. Метод построения L — А-пары со спектральным параметром и доказательство интегрируемости, основанное на построении r-матрицы, содержится в [132].
4. Согласованные пуассоновы структуры цепочек Тоды. Связь представлений Лакса интегрируемых систем с их бигамиль-топовостыо обсуждалась в § 5, гл. 1. В § 9,10 гл. 2 показано, что представление Лакса—Гейзенберга в динамике твердого тела связаны с га-мильтоновостью системы относительно пучка линейных скобок Пуассона.
Для обычной цепочки Тоды также существует вторая пуассонова структура, согласованная с первоначальной, найденная в [174]. Однако, она, в отличие от динамики твердого тела, является квадратичной
{a^?i+ili = = 2a-,
z (2-И)
{bi,aj}i = (IiI)i, \ bi+1, (Ii)l = -(цЬі+1
(для периодической On+1 = Ol, для незамкнутой On+i = 0). Гамильтониан для скобки (2.11) липееп
п
H = Y,h-
к=1
В работе [271] обнаружена еще одна согласованная (кубичная) скобка для цепочки Тоды (см. также [228]). Она имеет вид
{о», ai+i}2 = OjOj+i&j+i, {о;, bi}2 = -аф? - aj,
Wi+ іЛЬ =-ttjttj+i, {ai,bi+1}2 = щЬ2і+1 +Usi, (2.12)
{a.h bi+2}2 = o.;o-+1, {hi, bi+1}2 = 2af(bi + bi+1).
Гамильтониан системы
и
H = і Inoft. В этом смысле цепочка Тоды является тригамильтоновой. § 2. L — K-пара и бигамильтпоновосгпь цепочек Тоды
365
Скобки (1.4), (2.11), (2.12) вырождены, их центральные функции образуют инволютивный относительно пучка А{-,-} + //{•,• }i +1^(-,-)2 набор интегралов. Полнота этого набора, и, следовательно, интегрируемость обычной цепочки Тоды, следует из теоремы Болсипова § 5 гл. 1.
Связь квадратичной скобки (2.11) с существованием унитарной г-матрицы обнаружена в [146]. Применение г-матрицы для построения квадратичной и кубичной скобок в цепочке Тоды приведено в [131].
В работе [228] указана согласованная скобка для обобщенной цепочки Тоды, связанной с алгеброй Bn. Вторая пуассонова структура для этой цепочки получается с помощью редукции Дирака из квадратичной скобки (2.11), и является дробно-рациональной. Там же указана еще одна — однородная кубичная скобка, с помощью которой и линейной скобки (для Bn она невырождена) построен оператор рекурсии (§5 гл. 1).
Для обычной цепочки Тоды согласованные структуры (1.4), (2.11), (2.12) являются вырожденными и имеют различные симплектические листы, поэтому они не определяют оператор рекурсии (§ 5 гл. 1). Связь между этими скобками установлена в работе [228], при помощи мастер-симметрии — векторного поля Z, производная Ли вдоль которого порождает новые пуассоновы структуры
