Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
(7.4.1)
а
где
п- 1
е= I я|/&)
(7.4.2)
1 = 0
288
\
Ч
При вычислении на ЭВМ можно считать
Д0(^Д?г~еь, 0</<и-1,
где еь—точность представле-ния вещественных чисел (в одинарной точности еь~10-7, в ДВОЙНОЙ 8Ь~10-17). Всюду в 7.4 будем считать, что функции/(х) по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемы. Однако уже из формулы
(7.4.3) следует, что для оценки погрешности А/ важно иметь числовую оценку модуля функции и ее производных.
Предположим, что
Рис. 7.11
(7.4.4)
Учитывая оценки (7.4.4), перепишем (7.4.3): Д/=ш>ь(М0 + М1) + |Л|.
Предположим, что
шах
с1х:
^М2\ шах
<1х‘
(х)
Тогда из (7.3.2) — (7.3.4) получим выражения для А/ формул прямоугольников, трапеций, Симпсона:
Мп=пгь(М0+М1)+(Ь~^2М\ Д/т=иег,(М0+М1)+-А1с=пгь(М0+М1)+-
24 п2
(Ь — а)3М2 12п2
(Ь—а)5М4
(7.4.5)
180«
Из (7.4.5) можно заключить, что существует абсолютная погрешность Л 1т{п для любой квадратурной формулы, которую0 нельзя уменьшить увеличивая число шагов п (рис. 7.11). Конкретное значение Л 1т{п зависит от величин М0, Мг, М2, М4, а, Ь, еь. Например, для формулы Симпсона получаем:
^А/С !гж {Ь-аУМ* л
-=гъ(М0-МУ)-к-у;^ =0;
с1п
пт={Ь-а)
45 л5
М,
^„{Мо + М,
Ы^чУЧМо + М^МУ5
Ю Ю. П. Боглаев
1/5
1 (Ъ-а) 454'5
451/5+ 180
289
Далее рассматривается только погрешность квадратурной формулы Л, однако всегда следует иметь в виду наличие второй компоненты в погрешности, которая ограничивает число разбиений интервала интегрирования на частичные интервалы. Для проверки влияния этой компоненты погрешности переходят к вычислению с двойной точностью, если определение констант М1 оказывается более трудоемкой задачей.
7.4.2. Правило Рунге оценки погрешности квадратурной формулы.
Приведенные выше формулы для погрешности квадратурных формул Л (А, /) выражаются через значения производных /(х) в некоторой точке ^е[а,‘ Ь\ которая практически неизвестна. Получение оценок констант Требует дополнительных вычислений и особенно для таблично заданных функций. В связи с этим получило распространение практическое правило оценки погрешности Рунге, суть которого состоит в том, чтобы,. организовав вычисления двух значений интеграла по двум семействам узлов, затем сравнить результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее популярное правило связано С вычислением интеграла дважды: по шагу к и А/2 (рис. 7.12).
Чтобы вывести правило Рунге, предположим, что функция /(х)еС4[а, Ь] для квадратурных формул прямоугольников и трапеций, /(х)еС6[а, Ь]—для формулы Симпсона. Тогда можно показать, что погрешности Л (И,/) имеют следующее представление при А->0: ь
Объединив формулы (7.4.6) и (7.3.5)—(7.3.7), запишем точное значение интеграла I по любой из трех квадратурных формул в виде
Здесь с—константа в главном члене погрешности; к=2, т — 2
а Ь
(7.4.6)
а
1= 0к + сНк+О(Іік+т), /г->0.
(7.4.7)
а
и
ь
для прямоугольников и трапеций, к=4, т = 2
О
Ь
X для формулы Симпсона. Теорема 7.4.
Пусть подынтегральная
X функция /(х) такова, что
2
сФО. Тогда имеет место
Рис. 7.12
соотношение
290
I=Q„2 + Q-f-1yk+0(hk+m), й->0. (7.4.8)
Доказательство. Перепишем (7.4.7) для шага h/2, имеем
I=Qbi2 + c^+0(hk+m), 0. (7.4.9)
Последнее слагаемое записано в том же виде, что и в (7.4.7) в соотвествии с понятием символа О. Из (7.4.7), (7.4.9) определим неизвестную константу с. Вычитая из (7.4.7) равенство (7.4.9), получим
0 = e*-?*/2+c(/*‘-^V°(/?'I + m)-
Отсюда
(вн/2-й„)2к +0(hk + m\
hk(2k— 1) + [
Подставляя выражение для с в (7.4.9), получаем (7.4.8), что и требовалось доказать.
В основе правила Рунге лежит соотношение (7.4.8). Для оценки погрешности значения любой квадратурной формулы (7.3.5) — (7.3.7) (2и/2 с шагом к 12 следует вычислить (?А с шагом Л; тогда погрешность Як12 имеет величину
бй/2“бй
I Rhl2 I “
-1
+ 0{hk+m),
которая на практике заменяется
I Т> I бй/2 —бй I I Лй/2 I- у—]
с точностью до величин порядка Ик+т, т. е. членов более высокого порядка, нежели главный член погрешности в (7.4.6).
Для формул прямоугольников и трапеций
бй/2 бй I
для формулы Симпсона
|Д*/2І*
1 бй/ 2 6й I h,2V” 15
Заметим, что формула прямоугольников неудобна для применения правила Рунге, так как узлы ^ формул с Л /2 и Л не совпадают и приходится дополнительно вычислять значения f(x) (по сравнению с формулами трапеций и Симпсона).
Вычисления двух значений квадратурной формулы бЛ/2 и ()к позволяют оценить главный член погрешности и уточнить прибли-
10* 291
женное значение интеграла. В основе уточнения лежит экстраполяция Ричардсона, которая применяется не только к квадратурным формулам, но и к другим задачам численного анализа [16].
Идея экстраполяции Ричардсона состоит в том, чтобы из значений Qhj2 и Qh составить такую линейную комбинацию
Qhl2,h = ClQh/2 + C2Qh’> (7.4.10)
чтобы погрешность приближения / С ПОМОЩЬЮ Qh/2,h была более высокого порядка по Л, нежели Qh/2 и Qh в отдельности.
Теорема 7.5. Пусть точное значение интеграла Представляется в виде (7.4.7). Тогда линейная комбинация (7.4.10) с коэффициентами
2k -1 ? Cl 2*— 1 ’ Cl~2k-1
