Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
семейства функций g(x, а) возьмем (6.5.14). Теперь система функций gi(x), вообще говоря, не является ортогональной и необходимо решать систему линейных уравнений (6.5.13).
Однако в отличие от примера 1 при больших значениях п не возникает трудностей с решением этой системы.
6.5.3. Применение программы АЗА2. Определение коэффициентов элемента наилучшего среднеквадратичного дискретного приближения в случае примера 3 можно выполнить с помощью программы АЗА2. В качестве таблично заданной функции возьмем таблицу
\
274 '
V,
из примера 1. Найдем элемент семейства (в обозначениях описания программы АЗА2):
^s{x) = ~^~ To{x) + a6yiTi {х)Л-а^^Т2{х)Л-
или в обозначениях (6.5.14)
g(x, a)=a0T0(x)+alTl(x)+...+asTs(x), минимизирующий (га = 6)
bste afj\
или (в обозначениях описания программы)
/ 7 \ 1/2
?6 = ((I ^(ji-'PsW)2) •
Заметим, что интервал задания f (х) должен быть [—1, 1].
Сравнивая Р5 (х) и g{x, a), R и е6, получаем соответствие:
а0 Пбд/2, ^6,2) ^2 ^б,з» •••) ^5 ^6,6?
w, = ^, /= 1, 2, 7, j,=/
/=1, 2, 7.
Кроме того, следует выполнить преобразование х} к интервалу [-1, 1]
Х; = 2Х;_1 —1, /= 1, 2, 7.
Программа может иметь следующий вид:
INTEGER M,K1,N,I
REAL X(7),Y(7),W(7),Wl(3,7),W2(2,6),A(6,6),E(6)
DATA X/0.,0.1,0.2,0.4,0.6,0.9,1.0/
DATA Y/0.,0.316,0.447,0.632,0.775,0.949,1.0/
DATA M,Kl,N,I/7,6,6,0/
С ПРИВЕДЕНИЕ МАССИВА X К СТАНДАРТНОМУ ИН-
С ТЕРВАЛУ
С ЗАДАНИЕ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
DO 1 L= 1,7 X(L)=2. *X(L)— 1.
1 W(L) = 1./7.
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ АЗА2
CALL АЗA2(M,K,N,X,Y,W,W1 ,W2,A,E,I)
С ВЫВОД НА АЦПУ
WRITE (6,2) (A(6,I),I = 1,6),Е(6)
2 FORMAT (2Х,6Е10.3,2Х,Е10.3)
END
Глава 7 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
# 7.1. Введение
7.1.1. Числешфе интегрирование. Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы. Вычисление площадей и объемов, определение центра и моментов инерции тел, вычисление значения работы, произведенной некоторыми силами, и многие другие задачи приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего определенного интеграла
от неотрицательной функции /(х)^0, как известно, состоит в том, что значение I—это площадь, ограниченная кривой у=/(х), осью абсцисс и прямыми х = а, х = Ь (рис. 7.1).
Заметим, что неопределенные интегралы от элементарных функций могут уже не выражаться через элементарные функции, например
Тогда, если нет возможности выразить интеграл в известных специальных функциях, для которых имеются таблицы или программы вычисления на ЭВМ, то применяется приближенное численное интегрирование (7.1.1). Кроме того, если /(х) задана таблично, то приближенное определение интеграла (7.1.1) также выполняется численно.
ъ
(7.1.1)
а
У
т)
Напомним определение интеграла Римана от /(*), формально записываемого в виде (7.1.1). В этом определении фактически уже заложена основная идея численного интегрирования.
Ь Пусть вещественная
Пусть вещественная фун-
276
Рис. 7.1
ничена на замкнутом интервале [а, Ь\ Разобьем [а, 6] \
' V..
на п частичных интервалов [jcf, Xi+i], 0</<л—1, хп = Ь, x;0 = ?. Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку ?г, и составим интегральную сумму (рис. 7.1):
/&)(*«+!-*)• (7.1.2)
i = 0
Если существует предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю и произвольных то этот предел
называется интегралом Римана от /(*)
/= lim 5. (7.1.3)
max|xl+1— xt\ -?О
i
Интеграл Римана существует (существует предел (7.1.3)), например, для непрерывных функций f(x)eC[a, b\
Вычисление суммы (7.1.2), если не переходить к пределу (7.1.3), дает простейший пример численного интегрирования. А верхняя S2 и нижняя Sx суммы Дарбу определяют величину погрешности S, а именно:
\I-S\^S2-S1
п — 1
Si= Е щ(х1+1-х,); mt= min f(x),
(=о 1 (7.1.4)
It- 1
^2= Z Mi(xi+1-Xi), Mt= max f(x).
i = 0
Разнообразные формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (7.1.2) только явным указанием способа:
1) выбора xt, ?f;
2) ускорения сходимости в (7.1.3);
3) оценки погрешности, использующей дополнительную информацию о поведении f(x) (например, информации, что f(x)e в С2 [а, Ь]).
Если же об интегрируемой функции /(х) ничего не известно,, кроме того, что f(x) непрерывна, то вычисление суммы (7.1.2) и оценка погрешности (7.1.4) являются наиболее естественной формулой численного интегрирования.
7.1.2. Определение квадратурной формулы. Обобщим понятие интегральной суммы (7.1.2).
Точки в которых вычисляются значения /(*), назовем узлами, а коэффициенты (xi+x—Xi) в (7.1.2) заменим некоторыми числами qi9 не зависящими от f(x), называемыми весами. Тогда формула (7.1.2) заменяется следующей:
?=’Z?i/fe). (7-1.5)
i = 0
277
где я <^<6. Запишем интеграл (7.1.1) в виде
|/(х)^= ? 4;/(У + Л. (7.1.6)
а 1 = 0
Формула (7.1.5) называется квадратурной формулой, Л в (7.1.6) — погрешностью квадратурной формулы.
Каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать соответствующие веса а также оценка погрешности Я для определенных классов функций.
