Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
откуда
(Веь е,) = Х.{1), 1<г<л.
Следовательно, (8.1.18) выполняется.
Умножим обе части равенства (8.1.20) на ер /ф /, получим
(Ае^, е])+(Ве1, е^к^е?', еД
(Ае\1}, е^ = (е\1\ Ае^к^е^, еД
откуда
№ е,)=^ (Ве„ е}), 1Ф1 (8.1.21)
Формулы (8.1.21) определяют коэффициенты разложения векторов е\1] по базису ер 1<у’<и, для всех векторов, кроме случая 7 = 1. Для определения коэффициента (е\х\ воспользуемся условием нормировки векторов е;(в):
(е1+ге\1) + 0(г2), е1 + ее\1) + 0(е2))= 1.
Сравнивая члены при степенях в в этом равенстве, находим
и», *)+(*, еП=о,
или
(е^е^О. (8.1.22)
Объединяя (8.1.21) и (8.1.22) в одну формулу, получаем
е\1)= ? И1’, е,)е;= ^ 6Кр 1<*
7=1 7=1 1 7
309
Следовательно, справедливо соотношение (8.1.19), что и требова-
.д лось доказать.
Практически формулы (8.1.18),
Рис. 8.6
(8.1.19) используют при конечных
значениях є, а не при 8->0. Допустимые значения є определяются такими значениями, при которых возмущенные собственные значения Х((г) не пересекаются (рис. 8.6). При этом поправки к собственным векторам должны быть такими, чтобы имело место неравенство
что следует (8.1.19) (знак означает, что левая часть
значительно меньше правой).
8.1.4. Вырожденные матрицы и кратные собственные значения.
Выше, рассматривая оценки погрешности решения систем линейных уравнений, мы предполагали, что система линейных уравнений
имеет единственное решение для любой правой части. Это предположение эквивалентно тому, что матрица А невырождена, т. е.
Оценка погрешности определения собственных значений проводилось при условии, что собственные значения Хь 1 различны, т. е. нет кратных Хг, а именно
Рассмотрим вопрос о том, насколько обоснованы эти предположения. Не отбрасываются ли при этом важные прикладные задачи с вырожденными матрицами или кратными собственными значениями? Заметим, что любая вещественная матрица А размера пхп может рассматриваться как элемент вещественного пространства Еп\ Каждая точка Еп2 задает некоторую матрицу А.
Вырожденные матрицы А* в Еп% выделяются условием
Матрицы А, удовлетворяющие (8.1.23), представляют собой множество в Еп2 размерности, меньшей п2.
Например, дл)$ матриц второго порядка
А=(°1 л “иг\
\Д2,1 а2,2/
вырожденные матрицы А* в пространстве Е4, образованном векторами (а1Л, а12, а2Л, «2.2)5 выделяются условием
г{Веь
Ах — Ъ
(іеіАфО.
ХіфХ], іф].
ёеЫ * = 0.
(8.1.23)
310
«1,1«!,2-«1, 2«2,1 =0. \
.V,
сколь угодно малое возмущение матрицы А* в Еп2 должно приводить к нарушению усло-
Таким образом, произвольное, ап п
вия (8.1.23) (рис. 8.7).
Следовательно, можно утверждать, что вырожденные матрицы в семействе матриц п х п представляют собой ис-
Оі,і
ключение, свойство вырожден- рис 87
ности является неустойчивым.
Поэтому большинство технических задач приводится к уравнениям с невырожденными матрицами.
Если же математическая модель задачи оказалась связанной с вырожденной системой линейных уравнений или близкой к ней, то следует изменить модель. Если оказывается, что математическая модель в рамках принятых предположений все-таки определяется матрицей, близкой к вырожденной, то, видимо, техническая модель находится к неустойчивой ситуации со всеми вытекающими отсюда последствиями. Это является сигналом к изменению технического решения.
Кратные собственные значения X имеют матрицы А, у которых характеристическое уравнение
с кратными корнями. Но если полином Рп(Х) имеет X*— кратный корень, то с необходимостью должно выполняться условие
Условие (8.1.24), так же как (8.1.23), из пространства Еп2 выделяет множество матриц А* меньшей размерности.
Например, для матриц второго порядка
Поэтому относительно матриц А с кратными собственными значениями справедливы те же замечания, что и для вырожденных матриц.
р„(х)=<іеі(л-?і?;)=о
(8.1.24)
корни
кратны при условии (8.1.24), которое принимает вид (а1Л +а2л)2~ 4ёеЫ = 0.
311
• 8.2. Прямые методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим точные методы решения систем линейных уравнений. Метод решения называется точным, если за конечное число арифметических операций с точными числами можно получить точное решение системы уравнений. В противном случае метод приближенный. Заметим, что точные методы—это не настолько идеализированные алгоритмы, что на ЭВМ их нельзя реализовать. Для систем линейных уравнений с матрицей А и вектором Ь, состоящих из целых чисел, используя на ЭВМ арифметику целых чисел, можно с помощью точных методов находить точные решения.
8.2.1. Метод, исключения Гаусса. К числу точных методов решения систем линейных уравнений относится широко применяемый в вычислительной практике метод Гаусса.
Рассмотрим систему уравнений (8.1.1). Алгоритм исключения состоит из последовательности шагов.
1-й шаг. Исключение неизвестной хх из всех уравнений системы (8.1.1), кроме первого. Пусть Тогда из первого уравнения выражаем х1
Х1 =-—“(<*1,2*2 + ••• +а1,(Л) +*1 (8-2.1)
а\,\
через остальные неизвестные и подставляем (8.2.1) во 2-е, 3-е, ..., л-е уравнение системы (8.1.1). После подстановки получаем преобразованную исходную систему вида
