Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
6.5.1. Среднеквадратичное интегральное приближение. Поставим задачу аппроксимации непрерывной функции f(x) на интервале а^лг^Р элементом семейства g(x, а), а = (а0, аъ ..., ап):
g(x, a) = ao?o(*) + ai?i(*) + --+an?»(*)’ (б-5-1)
где gf(;c)—линейно независимые на [а, Р] непрерывные функции. При этом выберем g(x, а) таким, чтобы норма отклонения
R=\\f-g{x, а) ||=(J(/(x)-?(x, a)fdx)m (6.5.2)
была минимальной, т. е. найдем элемент наилучшего среднеквадратичного интегрального приближения к f(x).
Если &(*)—полиномы степени /, например gt={х\ O^i^n} или gi = {fi(x\ 0^/^л}, то это задача поиска полинома наилучшего среднеквадратичного приближения; если g{ = {cos ix, 0 < i < л}, то ищется тригонометрический полином, минимизирующий (6.5.2), и т. д. Основное требование к набору &(л:)—линейная независимость функций.
Заметим, что при фиксированных функциях /(*), &(*), 0</^л, норма отклонения R является функцией коэффициентов (я0, аи ..., ап) в линейной комбинации (6.5.1):
R = R(a0, а у, ..., а„).
Выбрать наилучший элемент (6.5.1)—значит найти такие числа а = (а0, ai9 ..., ап), которые доставляют минимум (6.5.2). Следовательно, в точке а с необходимостью должны выполняться соотношения
1^=0, |^=0, ..., |^=0. (6.5.3)
да0 да1 дап
Выполняя дифференцирование по at в (6.5.2) и подставляя в (6.5.3),
получаем систему линейных алгебраических уравнений (л-И)-го
порядка относительно неизвестных а0, аи ..., ап\
I(/(х)-ciog0(х)-ctygy (x)-...-angn(х))#0(*)dx = 0,
а
Р
J (/(*) - ао?о (*) - (*)-•••- ад. (*)) ii (*)<& =о,
(6.5.4)
268
J(/(*) -a0g0 (х) - aygy (х) -... - a„gn (х))g„ (х) dx = 0.
а \
’ V,.
Вводя обозначения для скалярного произведения
э
(и, v) = \u{x)v{x)dx,
а
перепишем систему (6.5.4) в виде
(Яо, ЯоК+(Яо= ЯіК+-+(Яо> Я„К=(Яо,/),
(Яі, ЯоК+(Яі, *і)«і + -+(?і. Я»К = (Яі, А (6 5 5)
(Яв> Яо)^0"1~(Яв> Яі)^1 “I"••• “І”(Яя> Яв)^в“(Ял- У)*
Теорема 6.7. Пусть система функций &(*)—линейно независима на [ос, Р ]. Тогда для любой непрерывной функции Дх) существует единственный элемент наилучшего среднеквадратичного интегрального приближения вида (6.5.1).
Доказательство. Покажем, что решение системы (6.5.5) существует и единственно. Действительно, определитель этой системы
(Яо> Яо) (Яо, Яі)-(Яо, Яв)
(Яі,Яо) (Яі, Яі)-(Яі,Я„)
(я„, Яо) (я„, Я1)-(Яв. Яв)
является определителем Грама системы функций &(*). Можно показать [8], что определитель Грама равен нулю тогда и только тогда, когда система функций &(х) линейно зависима. Следовательно, в силу предположения определитель системы (6.5.5) не равен нулю, т. е. решение а существует и единственно.
Покажем, что в точке а = (а0, а19 ..., ап) достигается именно минимум. Заметим, что
Л2 = (/-Я(*. 4 /-я(*> я)) = (/-аоЯо---а«Яп, /-«оЯо---ЯвЯв) = =(/>/) + I (Яр gk)aiak-2 ? (/, gi)ai. (6.5.6)
|Д = О 1 = 0
Правая часть в (6.5.6)—квадратичная форма относительно коэффициентов апричем в силу того, что для любых аь форма
в точке экстремума достигает своего неотрицательного минимума; следовательно, и достигает в точке а минимума, что
и требовалось доказать.
В качестве примера найдем среднеквадратичную интегральную аппроксимацию функций
/{х) = ^/х, 0<х<1, полиномом первой степени
Дх, а) = а0 + ахх, ?0(х)=1, ^(х) = х.
269
Имеем
1 1 1 (&» 8о) = \12‘Ьс=\-, (&>, g^) = lxdx = -,
0 О 2
1 1 1 2 (#1> Е1) = \х2(Ы=--, &о, 1) = $у/х(Ье=-,
о о -3
1 2
(^1. 1) = \хфс<1х = --. о э
Система (6.5.5) принимает вид
12 ао + 2а1~2’
1 1 2 2«.+5«,-5.
Находим: я0 = 4/15, а! =4/5.
Искомое решение
(6-5-7)
Для этой же функции найдем полином первой степени наилучшего равномерного приближения по схеме примера 3 п. 6.4.2 (рис. 6.10). Точка чебышевского альтернанса хх находится из условия /' (х)=1. Имеем \/2у/х=1; х1 = \/4. Полином наилучшего равномерного приближения
Л (*)=?+*• (6-5-8)
Сравнивая (6.5.7), (6.5.8), легко заметить, что полином g(x) минимизирует среднеквадратичное отклонение от /(х), но допускает отдельные ошибки, большие чем ^(х), например при д: = 0. Наоборот, полином Рх (х) минимизирует наибольшую ошибку, допуская большее среднеквадратичное отклонение, чем g(x).
Наиболее простую форму уравнения (6.5.5) имеют в том случае, когда система функций gh ортогональна, т. е.
ъ
(&> ?*) = Ш*)&(х)^ = 0>
а
В этом случае коэффициенты а( записываются из (6.5.5) в явном виде:
а1=г*А> 0<1<и.
g^)
Поэтому, решая задачу среднеквадратичного приближения, це-
270
V.
лесообразно выбирать в качестве аппроксимирующих системы ортогональных функций.
Пусть непрерывная функция f(x) задана на интервале [0, к]. Возьмем в качестве системы функций
g;(x) = cos/x,
я ГО, / ф к,
{gb gk) = \cosixcoskxdx= < л/2, 1фкФО,
0 1л, i=k = 0.
Получаем
f(x)^+ ? afcosix,
1 i= 1
2 f (6.5.9)
at=- \f (x)cosixdx, 0
TCJ
о
Формула (6.5.9) наилучшего среднеквадратичного интегрального приближения по cos/jc оказывается представлением f (х) рядом Фурье на интервале [0, тс].
Погрешность аппроксимации для ортогональных систем функций gt получим из формулы (6.5.6), которая принимает следующую форму:
Л2=(/> /)+ ? (gi, gi)ai~2 ? (gt, gi)af= ll/ll2 — ? \\gi\\2af.
