Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Хотя асимптотический ряд может быть расходящимся, его применение в вычислениях оказывается эффективным, поскольку можно фиксировать п и использовать его при л:->а. Таким образом, при фиксированном п вопрос о сходимости асимптотического ряда не имеет смысла, так как имеем конечную сумму п слагаемых.
Если асимптотическая последовательность фиксирована и асимптотическое разложение /(х) существует, то оно единственно и его коэффициенты определяются формулой
а„ = lim -
/(*)- X akMx)
Этот факт записывается следующим образом:
00
/М~ X «»«»(*)•
я = О
Сравним характер поведения членов трех типов рядов: а) ряд сходится в теоретическом и практическом смысле; Ь) ряд сходится в теоретическом смысле и «расходится» в практическом; с) ряд сходится в теоретическом смысле, являясь асимптотическим (рис. 5.9).
Пример ряда а) для малых значений х
erf х = -
X < 00.
(5.4.2)
Пример ряда Ь): тот же ряд (5.4.2) для больших значений х, так как если х велико, то велико и число больших членов, ряда. На практике этот ряд для вычислений егГх при больших
и"Л Чп. и*
II
к
JLt.
012345
а)
‘—к*
. п
0 1 2 3 4...
Ь)
JU I И Ту.у
п 0 1 234...
С)
Рис. 5.9
^ К). П. Боглаев
225
значениях л; не применяется. Более удобен следующий асимптотический ряд—пример ряда с):
е“*2Л 1 1*3 1-3-5
ег^~1 р( )• (5-4-3)
Заметим, что ряд (5.4.3) расходится, но если оборвать ряд, например на втором члене, то получим формулу
?00,
которую удобно использовать для достаточно больших х.
Впервые асимптотические ряды в вычисления ввел французский математик Пвер Лаплас (1749—1827). Современная теория асимптотических разложений берет начало с работ французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912). Методы возмущений очень часто используют в качестве рядов по параметру возмущения 8 асимптотические ряды
00
Д8)~ ? й»?">
я = 0
где асимптотическая последовательность — степенная {е"}, е->0, 8 > 0. Поэтому очень важно понимание свойств этих рядов.
Над асимптотическими рядами можно производить некоторые операции. Приведем основные свойства степенных асимптотических рядов:
Теорема 5.6. Если
/(е)~ X а„е", ?(е)~ ? Ьпгп, е->0, е>0,
п = 0 я = 0
то
00 00 /(е)+?(е)~ ? спеп, f(e)g(e)~ ? <1Не", е->0, ?>0,
и = 0 п = О
п
где сп йп~{-Ьп, йп ^ (ХуЪп-ъ.
к = 0
Доказательство. Докажем справедливость формулы суммирования. По определению имеем (для N^1)
Л?)= X апеп + 0(е% g(s)= X Ьпгп + 0(г").
п=0 и = О
Складывая, находим
f(e)+g(e)= ? (а„+ь„)еп+0(е"),
п = О
отсюда, обозначая сп = ап + Ьп, получаем формулу суммирования. Аналогично доказывается формула умножения.
Введем понятие равномерности асимптотических формул, оценок, рядов. Пусть в формулах (5.4.1) функция /=/(*, у) зависит
226 ^ .
V.
еще от одной переменной у, пусть также уеВг. Тогда, если в соотношениях (5.4.1) предельный переход выполняется равномерно по у, а константу с можно выбрать не зависящей от у, будем говорить о равномерных асимптотических формулах, оценках для /(х, у) по у. Например,
— равномерная оценка, если /(х, 0, х->я, хеИ равномерно
по уеОг.
Приведем теорему об интегрируемости и дифференцируемости степенных асимптотических рядов, которая использует равномерность оценок.
Теорема 5.7. Пусть
Пусть функция /(в, х) дифференцируема по х и имеет место
При в—^0 ряд в правой части равенства—равномерный асимптотический ряд на интервале а^х^Ь, где а не зависит от 8, а>0, и неравномерный на интервале 0 <х<Ь. Для неравномерного асимптотического ряда утверждение теоремы 5.7 может быть неверным, что можно проверить на приведенном примере.
5.4.2. Асимптотическое разложение интегралов, содержащих параметр. Простейший пример асимптотического разложения интеграла дает первая часть теоремы 5.7. — формула (5.4.4). Такое разложение можно трактовать как ряд возмущений по параметру возмущения ?, причем это регулярный ряд возмущений. Таким образом, если подынтегральная функция разлагается в равномерный по х асимптотический ряд при 8—>0, 8>0, то асимптотическое разложение получается почленным интегрированием этого ряда.
Например, для приведенного выше примера при а>0 имеем
/(х,у) = о( 1), х->а, хеД
00
/(е, х)~ ? я„(х)е", 8 —>0, 8>0, а^х^Ь,
и = О
равномерно по х. Тогда
|/(е, х)с1х~ ? ( \ап{х)йх )е", 8—>0, 8—>0 (5.4.4)
^/(е> х)^ у Ьп(х)гп, 8—>0, 8>0, а^х^Ь. дх и=п
Рассмотрим пример
ъ _______________________________________ ь
I ч/хТв^/х = (х3/2+8Х1/2) +0(е)2, 8 —»О, 8 > 0,
а
а
227
но интеграл
| ^х+гс1х = ^-(х+гУ12 о 3
'ф+^-ИЧ^Ч.+гГ2-
уже имеет, нерегулярный ПО 8 член ^?3/2 (дробную степень 8).
Этот пример свидетельствует, что важнейшим моментом в асимптотическом разложении интегралов по параметру 8 является определение асимптотической последовательности ип(е) такой, чтобы выполнялась соотношение
Ъ оо
|/(х, е)</х~ ? а„и„(е), е->0, е>0.
ка п-0
Из (5.4.5) следует, что {м„(е)} = {е°, е1, 83/2, е2, ..., е", ...}. Часто
не удается определить всю последовательность (м„(в)} (а на
практике это и не нужно) и тогда ограничиваются поиском первых ее членов {иг (е), м2(?)> •••> маг(8)} и доказательством соотношения
