Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, в различных ЭВМ может быть по-разному реализована арифметика чисел, например округление после выполнения операций, что также следует учитывать при реализации численных методов.
Таким образом, имеет смысл говорить о теоретическом численном методе и реализации численного метода.
Теоретический численный метод строится на бесконечных множествах целых и вещественных чисел и арифметике, его реализация основана на конечном множестве чисел ЭВМ и арифметике ЭВМ.
235
В дальнейшем будем рассматривать теоретические численные методы, опуская при этом термин «теоретические». Особенности, которые появляются при реализации численных методов, обсуждаются в 5.6.
5.5.2. Прямая и обратная вычислительная задачи. В математической постановке задач можно выделить два класса, к которым относятся многие из рассматриваемых задач в численном анализе.
1) Прямая вычислительная задача: по заданному элементу у, принадлежащему некоторому пространству Y и оператору F, переводящему элементы Y в элементы пространства Z, найти
' z=F(y). (5.5.1)
Например, нахождение интеграла от у(х)еС\_0, 1]—прямая вычислительная задача. Здесь
F{y) = \y{x)dx,
О
z—это число, 7=С[0, 1], Z=R1.
2) Обратная вычислительная задача: по заданному
элементу zeZ и оператору F, переводящему элементы Y в элементы Z, найти такое у, чтобы выполнялось (5.5.1), т. е. следует решить уравнение (5.5.1).
Например, решение уравнения
х
z(x)=y(x) + \y(s)ds, 0<л:<1, (5.5.2)
о
при заданной функции z(x)eC[0, 1], т. е. определение }>(.*) е
еС[0, 1] — обратная вычислительная задача. Здесь
r=Z=C[ 0, 1].
о
Заметим, что если известен обратный к F оператор F~1(z)=y, то обратная задача является прямой вычислительной задачей.
Например, в задаче (5.5.2)
y(x) = z(x)—e~xjesz(s)ds=F~1(z). (5.5.3)
о
В том случае, когда F~x неизвестен, решение обратной задачи состоит в построении F“1 или его приближении с помощью комбинации прямых вычислительных задач. Например, если бы мы не знали явный вид обратного оператора в (5.5.2), то приближения к F~1 можно найти методом последовательных приближений:
х
л+Ф)=Ф)-ШФ^ «=°> !•••; Уо(*)=4х)’
О
откуда
yi(x) = z(x)-]z(s)ds, о
X X S
у2 (х) = г{х) -1 z(s)ds +1J z(st )dsl ds,
О 0 0
x x s x sn- 2
y«W=zW_fz('sr)*+Jfz(si)<fci<fc+-+(-1),,"1f- 1
ООО 00
Меняя порядок интегрирования, находим
)й^= )<&! = { (x-s)z(s)<fc,
о \o /0 \Sl / 0
x s sn- 2 *
И"' l Z^-1)^-1*n-2-^ = l(0yrZ^&-
0 0 0 0
Следовательно,
j>„(*)=z(x)-f ? Ы^)^=фя(4 (5.5.4)
J k=0 K'
0
Таким образом, обратная вычислительная задача свелась к последовательности [п= 1, 2, ... ) прямых вычислительных задач—интегрированию по формулам (5.5.4). Одновременно мы построили приближения к оператору F“1, а именно Ф„, а также приближения у„(х) к точному решению (5.5.2).
Если заданная функция z(x) такова, что интегралы в (5.5.3) или (5.5.4) аналитически не берутся, то применяется численный метод интегрирования.
Вообще в численных методах решения обратных вычислительных задач обязательно присутствует этап сведения к прямым вычислительным задачам: одной или последовательности. Способы сведения могут быть различными, что порождает и разнообразие численных0 методов в конкретных задачах.
5.5.3. Дискретизация в непрерывной задаче. Многие вычислительные задачи, прямые и обратные, имеют в качестве элементов У, z в (5.5.1) элементы бесконечномерных пространств Y, Z, например функции у(х\ z(x)eC[0, 1], как в примере (5.5.2). Такие задачи будем называть непрерывными в отличие от дискретных, где у, z в (5.5.1)—элементы конечномерных пространств. К дискретным задачам можно отнести вычислительные задачи линейной алгебры. Например, решение системы линейных Уравнений
Ay = z,
237
где векторы у=(у1г уй), г=(г1, ..., г„), матрица А=(аи), 1 < и І ^ — дискретная задача.
Аналитические методы и методы возмущений могут оперировать с такими объектами, как функции. Численные же методы, если предполагается их реализация на ЭВМ, не могут оперировать с объектами, для описания которых требуется бесконечный набор чисел из-за конечного запаса чисел ЭВМ.
Действительно, функция у(х\ отличная от полинома, разлагающаяся в ряд Тейлора с центром в точке х = а, т. е.
требует для своего точного описания бесконечного числа значений {у{а\ у'{а\, у"{а), •••, Уп{а\ •••} и не может быть представлена конечным Набором чисел. Поэтому важнейшим элементом численного анализа непрерывных задач является замена исходной задачи
(5.5.1) последовательностью других, в некотором смысле «близких» дискретных задач
Процедура перехода от (5.5.1) к (5.5.5) называется дискретизацией непрерывной задачи. Замена должна быть такой, чтобы решения (5.5.5) аппроксимировали в некотором смысле, который следует определить, точное решение (5.5.1) тем точнее, чем больше членов последовательности берется.
Заметим, что в предложенном подходе к численному анализу содержится предположение: исходная задача, если она обратная, имеет решение, т. е. вопросы существования, единственности решения (5.5.1) мы не затрагиваем, а занимаемся построением последовательностей {г1, 7^, у1}1, которые дают сходящиеся по некоторой норме решения (5.5.5) к точному решению (5.5.1).
