Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
(дс-дс*)+|р(дс*+е(дс_х*)* у*+^-у*)){у~уЛ
где 0 < 0 < 1. Переходя в этой формуле к оценкам, получим
ди
\и(х, ^)-и(дг*,^)| <тах
в
дх
\Х-Х^\ +
ди ди ди
-1-тах в ду \у-у*\ <тах в дх Ах + тах в ду
А у,
что и требовалось доказать.
Из теоремы 5.10 следует, что для функций и(х, у) = х±у абсолютная погрешность Аи = Ах+Ау, т. е. абсолютная погрешность суммы и разности двух чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел.
Вычислим относительную погрешность функции:
и(х,у)=ху.
Из теоремы 5.10 находим
5 и =
шах | у | Ад:+шах | х | Ау / ч
с____________с__________ (1у* I + Ау)Дд;+(|л:* 1 + Ах)Ау _
244
\х*У+\
= 5х+5}>-Ь25д:5у, \
1**У*1
т. е. относительная погрешность произведения двух чисел с точностью до членов второго порядка малости равна сумме относительных погрешностей этих чисел, а именно
5 и ~ 5л; +
5.6.5. Влияние ошибок округления. Большинство задач вычислительной математики сводятся к четырем арифметическим операциям над целыми и вещественными числами.
Заметим, что сложение, вычитание и умножение целых чисел выполняется точно. Деление целых чисел осуществляется с округлением по следующему правилу: результат деления двух целых чисел, состоящий из целой и дробной частей, заменяется целой частью, например 20/7 = 2, 1/3 = 0, 9/3 = 3. При таком округлении возникает абсолютная ошибка в, которая имеет оценку |в| < 1 и имеет знак, противоположный знаку округляемого числа. Заметим, что такой способ округления может давать по сравнению с общепринятым правилом округления в десятичной системе счисления ошибку почти вдвое большую.
Если в вычислениях на ЭВМ присутствует большое число операций деления в арифметике целых чисел, то это может привести к существенному искажению результата — большой погрешности из-за ошибок округления.
В арифметике вещественных чисел на ЭВМ все четыре действия, как правило, выполняются с округлением. Исключение составляют те числа и такие операции, которые не выводят исходные числа и результат операции за рамки 32-разрядного слова ЭВМ (в арифметике одинарной точности) двоичного представления чисел.
Продемонстрируем возникновение ошибки операции сложения на следующем примере. Пусть производится сложение чисел 0,1234011 и 0,1234067 • 10" 3. При сложении на ЭВМ предварительно выравниваются порядки чисел до большего, а затем мантиссы суммируются. Второе число при выравнивании порядка представится в виде 0,0001234067. Учитывая, что в 32 разрядах точность представления чисел ~7 знаков после запятой, замечаем, что подчеркнутые цифры выходят за рамки 32 разрядов, они округляются и сумма 0,1235245 имеет погрешность ~ 10"8.
Операция округления осуществляется в двоичном представлении, где точность определяется 24 двоичными цифрами мантиссы. Обозначим точное число — л;, округленное—х. Тогда относительная ошибка округления 5 имеет оценку
|5| < 2~25 ~ 3 • 10-8;
следовательно,
х = л:(1 +5).
Получить априорную оценку погрешности округления для сколько-нибудь содержательных вычислений — крайне трудная задача.
245
Апостериорная оценка погрешности во многих задачах может быть найдена повторением всего процесса вычислений в арифметике двойной точности и сравнением результатов с полученными в одинарной точности.
• 5.7. Особенности серийных вычислений
В этом пункте рассматриваются особенности методов вычислений, связанные с тем, что задача может решаться многократно (серийные вычисления). При многократном использовании одной и той же программы решения задачи требуется обратить пристальное вниманйе на ее эффективность, в частности время решения одного варид^та.
Пусть время выполнения одного варианта равно Т, количество повторений вычислений — N, стоимость единицы времени ЭВМ—q. Тогда стоимость всей серии qNT. Если удается снизить время Г на Л Г, то экономия стоимости вычислений qNAT при больших N может быть значительной величиной.
В серийных расчетах вводится понятие предвычислений. Это вычислительная работа, которая поизводится для подготовки вычислений одного варианта. Если серия большая (N велико), то можно проводить и большие предварительные вычисления. Пусть время предвычислений Тп\ тогда общее время вычислений серии
Tn + N(T-AT).
Пусть также АТ—сТп, с = const, т. е. снижение времени вычисления варианта пропорционально Тп. Тогда общее время вычислений серии *
T„ + N(T-cT„)
и уже при длине серии N, удовлетвряющей неравенству
Tn-NcTn< 0, N>l/c,
целесообразно проводить предвычисления.
Для примера рассмотрим задачу интегрирования уравнения
^=(sinx)y2+fk(x), у(0)=0, 0<Х<Й,
на интервале [0, а] для серии функций fk(x), l^k^N, методом Эйлера с шагом h. Имеем
Ji+1 =Уг+ h [(sinx^Ji +fk (*,)], v0 = О,
xt = ih, 1</<[а/й].
Если серия велика, то целесообразно составить таблицу функции sinx в точках х{ заранее, вычисления вариантов уже вести не обращаясь к функции sinx, а только к таблице. Пусть [а/й] = 1000. Время
r„=iooorsin,
246 \
V,,
где Тз1п — время вычислений ътх в одной точке. Пусть Тв—время выборки числа, взятое из таблицы. Получаем
ЛГ=1000[Г81п-Гв]^Г„,
поскольку Гвс7^п. При серии N=1000 сокращение времени вычислений 106 7^п.
