Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
210 \
V.
г+^Мх+Ф^Л*) (5.3.42)
Для простоты изложения рассмотрим уравнение
</2 у . , ,(1у
^+Ь^Тх с краевыми условиями
<1у
СІХ
Будем искать линейную комбинацию
<1у
^(а)=а0.у(а)+(х2; (5.3.43)
Ф'(й)=Ро7(*)+Р2- (5.3.44)
СІХ
= і4(ф + 5(д:) (5.3.45)
(с неизвестными пока функциями А(х), 2?(х)) такую, чтобы при
подстановке (5.3.45) в уравнение (5.3.42) оно стало тождеством.
Для этого в соотношении
^у + А(Ау + В)+^+В(Ау + В)+су=/
приравняем отдельно коэффициенты при у1, у0. Получим уравнения для А(х), В(х)(а<х<Ь) с начальными условиями из (5.3.43):
г] А
— = — А2—ЬА—с, А(а)=а0; (5.3.46)
ах у '
?=*=-АВ-ЬВ+/, В(а)=ое2. (5.3.47)
ах
Предположим, что решение задачи Коши (5.3.46) А(х) существует на интервале я^х^й и может быть определено аналитически. Тогда решение (5.3.47) записывается явно
Д(х) = а2е“!(у4(,)+6(,)А+Ь"1^)+*(,)АЛ*)*-
а
Предположим, что А{Ь) — РОт^0. Тогда из (5.3.44), (5.3.45) находим
(5-3'48)
На этом завершается прямая прогонка, смысл которой состоит в перегоне условия (5.3.43) слева направо от точки х = я в точку х = Ь и в определении у(Ь).
Обратная прогонка — это решение второй задачи Коши: уравнения (5.3.45) с условиями (5.3.48) на правом конце интервала я^х<6. Окончательно получаем решение исходной краевой задачи
ь
211
В том случае, когда принятое предположение не выполняется, краевая задача либо неразрешима, либо имеет бесконечно много решений.
Из аналитических методов решения нелинейных краевых задач рассмотрим метод сведения к интегральному уравнению. Пусть имеем краевую задачу
у(0)=.у(6)=0. (5.3.49)
Если бы правая часть была известной функцией от л:, например
ад.
то с помощью подстановки проверяется, что решение краевой задачи имеет вид
О
где
х(.у—Ь)
К(х, ^) =
Ь
5{х — Ь)
ь
Используя эту формулу, сводим задачу (5.3.49) к решению следующего интегрального уравнения:
о
Если метод последовательных приближений
ъ
л+1(*)= *)/Ы5)> *)<*
О
(к = 0, 1, 2, ...; у0(*)—заданная функция) сходится к точному решению у(х) и для любого к интеграл в правой части можно вычислить аналитически, то точное решение
у(х) = 1Ш1^(4
к—* 00
Вопрос о единственности требует специального рассмотрения. Обычно он снимается в результате анализа прикладной задачи. Например, для краевой задачи
^-1 = -у2+ух2 + 2-х2(х-1), ^(0)=у(1) = 0
\
212
V,.
метод последовательных приближений
Л4а(*М*-0М->;*+л*2+2-52(*-1)]Л+К5-1)[-.Ук+л52+
+2-52(5-1)]Л, к=О, 1, 2, уо(х)=0,
дает первое приближение
+х*| 1-1 \+х
-31
"зо”
+ х2,
отличающееся от точного решения
у (*)=*(*-1) не более чем на величину
шах |у(х)— ух (х)| = шах
30+12 20
'0,02.
Заметим, что эта точность достигнута в результате небольшого объема вычислений, а приближение найдено в виде формулы. Для сравнения «вычислительных затрат» можно рекомендовать решить эту задачу разностным методом (см. 10.4) с той же точностью.
5.3.19. Решение уравнений с частными производными. Из аналитических методов решения задач для уравнений с частными производными рассмотрим метод Фурье {метод разделения переменных) на примерах основных линейных уравнений математической физики и метод подобия для нелинейного уравнения теплопроводности. Для дальнейшего изучения рассматриваемых вопросов рекомендуется [31].
1. Волновое уравнение. Малые поперечные колебания однородной струны описываются уравнением
дЧ
дг
-—а2
д^и
дх:
+/(*, ')>
(5.3.50)
где независимые переменные (л:, /)е!> = {(Хл:^/, решение
и(х, г)—это отклонение от положения равновесия (м = 0) струны в точке л; в момент времени г (рис. 5.4). Здесь константа а2 определяется формулой
я2 = 77р,
где Т—сила натяжения струны, р—ее плотность.
Неоднородность /(х, /) = /г(д;, /)/р; /’(х, /)—нагрузка, действующая на струну в точке л; в момент времени г.
Для определения решения и(X, /) задаются начальные условия
213
hU(x,y,t) u(x, О) = ф0(х), 0<х</,
^U(x,y,t) (5.3.51)
€3,
Здесь ф0(х)—начальная форма струны, ф 1 (х)—начальная скорость. Кроме того, следует задать граничные условия. Например, если левый конец струны закреплен, а правый свободен, то граничные условия следующие:
t и(о, 0-0, ух{1, 0 = 0;
если закреплены два конца, то
и(0, t) = 0, м(/, f) = 0. (5.3.52)
Уравнение (5.3.50)—одномерное волновое уравнение, так как в нем одна пространственная переменная х.
МалыЬ поперечные колебания мембраны описывает двумерное волновое уравнение
д2у 2( д2*4 ч
~д?~а \д?+'д?у’ ^
Здесь (х, >>)eZ>o, 0^t^tl9 и(х, у, t) — отклонение мембраны от нуля (положение равновесия мембраны) в точке х, у в момент времени t (рис. 5.5).
Распространение волн в трехмерной однородной среде (а2 = = const) описывается трехмерным волновым уравнением
д2и 2(д2и д2и д2и\ .
T?-a \Js+W+J?)+f{x' у' г’
2. Уравнение теплопроводности или диффузии. Процесс распространения тепла или диффузии частиц в одномерном случае описывается уравнением
|=«2^+/(х, г), (5.3.53)
где (х, *)е/) = {0<х</, Решение м(х, /)—это температура
бесконечно тонкого стержня в точке х в момент времени t (для задачи теплопроводности). Коэффициент
a2=kj(cp),
