Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 8.20. Пусть (M, g) —пространство-время, у которого все изотропные геодезические удовлетворяют типовому условию и Ric (у, v) > 0 для всех изотропных векторов. Если (M, g) глобально конформно диффгоморфно некоторой части подмножества M' статической вселенной Эйнштейна, то все изотропные геодезические (M, g) неполны.
Так как пространство-время Минковского свободно от точек изотропного раздела, то сформулированный выше результат оста- 8.3. Множество непространственноподобного раздела 215
нется справедливым, если заменить M' на пространство-время Минковского.
В космологии пространства Фридмана используются в качестве моделей вселенной. При этом предполагается, что вселенная наполнена идеальной жидкостью, имеющей нулевое давление. Будем также предполагать, что для этих моделей космологическая постоянная Л равна нулю. Тогда эти пространства являются пространствами Робертеона—Уокера (разд. 4.4), у которых р = Л = = 0, Эти пространства можно конформно вложить в определенное выше подмножество M' статической вселенной Эйнштейна (см, Хокинг и Эллис (1977, с, 157—158)), Более того, для всех непространственноподобных векторов в космологической модели Фридмана (М, g) Ric (g) (v, v) > 0. Согласно предложению 6.3, существует С2-окрестность U (g) метрики g в С (М, g), в которой для всех gi ? U (g) выполняется неравенство Ric (gx) (v, v) > 0. Ввиду того что из Ric (gx) (v, v) > 0 вытекает выполнение типового условия в (М, gi) всеми изотропными геодезическими, следствие 8.20 приводит к следующему результату.
Следствие 8.21. Пусть (M, g) —¦ космологическая модель Фридмана. Тогда существует C2-окрестность U (g) метрики g в С (M, g), такая, что каждая изотропная геодезическая в (М, gx) неполна для всех gi t t/ (g).
8.3. Множество непространственноподобного раздела
Напомним следующее понятие.
Определение 8.22. Множество непространственноподобного раздела C+ (р) точки р в будущем определяется по правилу C+ (р) == C+ (р) U (р). Соответственно множество непространственноподобного раздела в прошлом — С" (р) = Cj (р) U Cjj (р) и множество непространственноподобного раздела С (р) —
- С- (P) U C+ (Р).
В гл. 7 мы упоминали о том, что полное некомпактное риманово многообразие допускает из каждой точки геодезический луч. Таким образом, в каждой точке существует такое направление, что геодезическая, исходящая из этой точки в этом направлении, не имеет точек раздела. Для сильно причинных пространственно-временных многообразий лоренцев аналог этого свойства подобным же образом извлекается из существования исходящих из каждой точки направленных в будущее и направленных в прошлое непространственноподобных геодезических лучей. Это можно сформулировать так, как это сделано в первой половине следующего утверждения. 216
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
Предложение 8.23. (а) Пусть (M, g) сильно причинно. Тогда для любой заданной точки р ? M существует направленный в будущее и направленный в прошлое непространственноподобные касательные векторы в TvM, такие, что геодезические, исходящие из точки р в этих направлениях, не имеют точек раздела.
(б) Пусть (М, g) глобально гиперболично и р ? M —произвольно взятая точка. Тогда у р нет самой далекой точки не-пространственноподобного раздела.
Доказательство, Как мы уже отмечали, часть (а) непосредственно вытекает из теоремы 7,10. Для доказательства части (б) предположим, что q ? M является наиболее далекой точкой раздела для р. Тогда q является точкой раздела вдоль максимального геодезического сегмента у из р в q. Выберем последовательность точек \qn\ так, чтобы q 4^ qn для каждого п и qn -> q. Из глобальной гиперболичности (М, g) вытекает существование для любого п максимальных времениподобных геодезических сегментов сп: [0, d (р, qn) ] ->- M из р в qn. Продолжим каждый Cn до непродолжаемой в будущее геодезической. Вследствие того что q —наиболее удаленная точка раздела для точки р и d (р, Qn) Ss d (р, q) + d (q, qn) > d (р, q) для каждого п, геодезический луч сп не содержит точек раздела точки р. Последовательность \сп\ имеет предельную кривую с, которая в соответствии с предложением 2.18 является направленной в будущее и непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, исходящей из р. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что je,,} сходится к с в C0-топологии на кривых (см. предложение 2,21). Используя глобальную гиперболичность пространства-времени (М, g) и тот факт, что q„ -> q, получаем, что q ? с. Если г ? с и гп ? с„, причем гп ->- г, то d (р, г) — = lim d (р, гп). Из того, что в сильно причинных пространствах длина дуги полунепрерывна сверху, вытекает, что длина с от р до г не меньше lim d (р, rn) = lim d (р, rn) = d (р, г). Тем самым с —максимальный геодезический луч. Ввиду того что q является точкой раздела для р на у, геодезические с иу — различные максимальные непространственноподобные геодезические, проходящие через р и q. Тогда, воспользовавшись либо леммой 8.1, либо леммой 8.13, получаем противоречие с максимальностью с за точкой q. ?
