Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку при изучении сопряженных точек рассматривается только поведение «близких» кривых, естественно применить к вычислению вариаций непространственноподобных геодезических в произвольных лоренцевых многообразиях технику, подобную той, которая применяется к геодезическим в произвольных римановых многообразиях. Чтобы показать особенности лоренцевой теории об индексе, коротко опишем теорию Морса об индексе для произвольного (не обязательно полного) риманова многообразия (N, g0). Пусть с: [a, b] N —фиксированный геодезический сегмент. Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых as, начинающихся в с (а) и заканчивающихся в с (Ь). Более точно, пусть а: [а, b ] X (—г, г) N есть непрерывное кусочно гладкое отображение, у которого a (t, 0) = с (t) для всех t а [а, Ь) и a (a, s) = с (a), a (b, s) = с (Ь) для всех s ? (—є, є). Тогда каждая соседняя кривая as: t -> as (t) = = a (t, s) является кусочно-гладкой. Векторное поле вариации 22*
228 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
(или s-параметрическая производная) V этой деформации задается правилом
V(t)=~-~(s^a(t, s)) |!=0.
Так как с — гладкая геодезическая, то путем прямых вычислений можно убедиться в том, что
-I-(Mas)) ко = О,
а вторая вариация имеет вид -^r (U Ю) |s-0 =
= JLtgo (У'' V") — б® (Vr, С) с', V)-c'(g0(V, c'))]\tdt +
¦bgo(WV. c)\l
Эта формула второй вариации естественно предполагает определенной на бесконечномерном линейном пространстве V^ (с) кусочно-гладких векторных полей X вдоль с, ортогональных к с и удовлетворяющих условию X (а) = X (b) = 0, индексную форму
I(X, Y) = Jjg (X', Y')-g(R(X, с') с', Y)]\tdt,
Затем показывается, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы с была свободна от сопряженных точек, является выполнение неравенства I (X, X) > 0 для всех нетривиальных
X € Vt (с).
Это наводит на мысль, что для геодезической с: [a, b]-> N с сопряженными точками индекс Ind (с) относительно формы I: V^ (с) X V01 (с) R следует определять как точную верхнюю грань размерностей всевозможных линейных подпространств пространства V(f (с), на которых форма / отрицательно определена. Несмотря на го что V1^ (с) является бесконечномерным линейным пространством, теория Морса для произвольных римановых многообразий утверждает, что
(1) Ind (с) конечен;
(2) Ind (с) равен геодезическому индексу с, т. е. числу точек, сопряженных вдоль с, с учетом кратности. Более точно, если обозначить через Jt (с) линейное пространство гладких векторных полей Y вдоль с, удовлетворяющих дифференциальному уравнению Якоби Y" + R (Y, с') с' = 0 и краевым условиям Y (а) = = Y (t) = 0, то утверждение (2) эквивалентно формуле
(3) Ind(c)= Ц dim Jt (с).
t ?: (а, Ъ) 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических 225
Таким образом, у с имеется лишь конечное число точек на (а, Ь), сопряженных с (а).
Теперь при помощи теоремы Морса об индексе можно вычислить гомотопический тип пространства путей для полных римановых многообразий геометрически (см. Милнор (1966, с. 107)). Получается следующий результат: если (N, g0) — полное риманово многообразие и р, q ^ N — произвольная пара точек, которые не сопряжены (какую бы геодезическую мы ни взяли), то пространство Q(P, Ч) всех возможных непрерывных путей из pBq, наделенное компактно-открытой топологией, имеет гомотопический тип счетного клеточного комплекса, который содержит клетку размерности 1K для каждой геодезической из р в q, имеющей индекс X.
Целью разд. 9.1 и 9.3 является доказательство аналогов утверждений (1)—(3) для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. Пусть с: [a, b] -> M (соответственно ?: [а, Ь]->М) —произвольный времениподобный (соответственно изотропный) геодезический сегмент в многообразии (М, g). Обозначим через У J- (с) (соответственно через V^- (?)) бесконечномерное линейное пространство кусочно-гладких векторных полей V вдоль с (соответственно вдоль ?), ортогональных с (соответственно ?) и удовлетворяющих условию Y (a) = V (b) = 0. По аналогии с римановой индексной формой времениподобную индексную форму I: У (с) X У (с) -> IR можно определить соотношением
I(X, Y) = - Jjg (Г, Y')~g(R(X, с') с', V)] dt.
Можно показать также, что геодезическая с: [a, b]-> M не имеет на (a, b) сопряженных точек в том и только том случае, когда форма I: V^ (с) X IX^l (с) -> R отрицательно определена.
Индексная форма I: Уц1 (?) X У (?) R вводится аналогично:
I(X, V) = -fa[g(X', Y')-g(R(X, ?')?', Y)] dt.
Но так как ? —изотропная геодезическая, то g (?', ?') =¦ 0. Следовательно, векторные поля вида У (t) = / (t) ?' (t), где /: [a, 6]->lR —кусочно-гладкая функция, подчиненная условию / (a) = / (b) = 0, всегда располагаются в нулевом пространстве формы I: У^ (?) X yj- (?) R, но тем не менее никогда не порождают изотропных сопряженных точек.
Обойти эту трудность можно путем рассмотрения фактор-пучка Sf0 (?) пространства У^ (?), который получается при отождествлении векторных полей V1 и V2 из У J- (?), связанных равенством V1 —V2 = /?', где /: [a, b] R —кусочно-гладка я функция. При этом индексная форма I: V^ (?) X V^ (?) R
