Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 8.1. Пусть с: [0, a]M —максимальный времени-подобный геодезический сегмент. Тогда для любых s и t, связанных условием 0 < s < t < а, с | [s, t] является единственным (с тон- S.I. Множество времениподобного раздела
203
ностыо до параметризации) максимальным геодезическим сегментом из с (s) в с (/).
Прежде чем начинать изучение множества времениподобного раздела, необходимо определить наблюдаемое в будущем единичное расслоение T_yM (см. Topn (1977а, 19776)).
Определение 8.2. Положим T^1M = jti ? TM: g (v, v) = —1 и вектор V направлен в будущее}. Будем обозначать через T_tM |7< слой Т_гМ в точке р ? М. Кроме того, для данного v ? T^1M обозначим через cv единственную времениподобную геодезическую, у которой C1' (0) "= V.
Непосредственно нз неравенства треугольника следует, что если у: [0, а) M —направленная в будущее непространственноподобная геодезическая и d.(y (0), у (s)) = L (у | [0, s]), то d (у (0), у (/)) =- L (у ] [0, /]) для всех /, удовлетворяющих условию 0 < ( < S1 Кроме того, из неравенства треугольника вытекает также, что если d (у (0), у (s)) > L (у | [0, s]), то d (у (0), у (і)) > > L (у I [0, t ]) для всех І, удовлетворяющих условию s < / < а. Поэтому имеет смысл следующее
Определение 8.3. Определим функцию s: Т_гМ -*¦ R U {оо} посредством формулы s (V) — sup \t >0: d (я (v), cv (t)) = /}.
Нетрудно заметить прежде всего, что если d (р, р) = оо, ТО S (v) 0 ДЛЯ всех V t Т_-уМ, для которых я (v) — р. Кроме того, если (М, g) сильно причинно, то S (v) > 0 для всех V ? Т_гМ. Число s (и) можно интерпретировать как «наибольшее» значение параметра /, для которого Cv является максимальной геодезической между Cv (0) и cv (t). Действительно, из леммы 8.1 легко вытекает
Следствие 8.4. Для значений параметра t, подчиненных условию 0 < t < s (V), геодезическая cv: [0, t \ -*¦ M является единственной (с точностью до перепараметризации) максимальной времениподобной кривой из Cv (0) в cv (t).
Для произвольных пространственно-временных многообразий функция s не может быть полунепрерывной снизу, в чем легко убедиться, выбрасывая точку из пространства Минковского. Но для времениподобно геодезически полных пространственно-временных многообразий выполняется следующее утверждение.
Предложение 8.5. Если (М, g) времениподобно геодезически полно, то функция s: Т_гМ -+R U {оо} полунепрерывна сверху.
Доказательство. Достаточно показать следующее. Пусть Vn -*¦ v в Т_уМ так, что \s (uj} сходится в R U {оо}. Тогда s (у)
Iims (о,,). Если s (у) = оо, то неравенство очевидно. Предпо- 204
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
ложим поэтому, что s (у) < оо и S (у) < lim s (vn) — А, и построим противоречие.
Можно выбрать б > О так, чтобы s (у) + б < А, и считать, что s (vn) s (v) + б = b для всех п. Положим сп = си . Из того, что b с s (vn), получаем, что d (я (vn), сп (b)) = b для всех п. В силу условия vn V и полу непрерывности расстояния снизу имеем d (я (у), Cv (b)) < lim d (я (vn), сп (Ь)). Тем самым d (я (у), Cv (b)) b = L (cv I [О, Ь]; последнее равенство получаем по определению длины дуги. С другой стороны, d (я (у), Cv (Ь)) ^ L (cv I [О, Ь]), так что d (я (у), св (b)) = L (cv\ [0, b\) = Ь. Отсюда s (у) b = s (у) + б, что и приводит к противоречию. ?
Чтобы доказать полунепрерывность s снизу для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, полезно сначала установить следующую лемму.
Лемма 8.6. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про-странство-время, а \рп\ и \qu\ —две бесконечные последовательности точек, для которых рп ->¦ р и qn -* q, причем р <С q. Пусть сп: [0, d (рп, qn)]M —нормальный максимальный геодезический сегмент из рп в qn. Положим vn = с'п (O) ? Т_гМ. Тогда последовательность jy(l} имеет времениподобный предельный вектор w ? Т_ХМ. Более того, cw: 10, d (р, q) \M —максимальный геодезический сегмент из р в q.
Доказательство. В силу следствия 2.19 существует непространственноподобная направленная в будущее кривая с, предельная для последовательности сп и соединяющая р с q. Согласно предложению 2.21 и замечанию 2.22, имеем L (с) ^ Iim L (сп) -= = lim d (рп, qn) = d (р, q) > 0. Из неравенства d (р, q) ^s L (с) вытекает, что L (с) = d (р, q) >0. Отсюда и из теоремы 3.13 следует, что кривую с можно перепараметризовать в максимальный времениподобный геодезический сегмент из р в q. Наконец, w = = с' (0) / [—g (с' (0), с' (0))]1/2 —требуемый касательный вектор. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать полунепрерывность s снизу для глобально гиперболических пространств.
Предложение 8.7. Если (М, g) глобально гиперболично, то s: TL1M-^IR U {оо} полунепрерывна снизу.'
Доказательство. Достаточно показать, что из условий vn v в Т_ХМ и s (vn) А в R U |оо| вытекает неравенство s (у) с А. Если А = оо, то утверждение очевидно. Предположим поэтому, что А < оо, и, допуская, что s (у) > А, придем к противоречию. S.I. Множество времениподобного раздела
205
Выберем б > 0 так, чтобы А + б < s (у). Положим Ьп — = s (vn) jT b и возьмем N0 таким, чтобы bn < s (у) для всех л ^ N0. Положим Cn = Cv , Pn = Cn (0) и Ц = Cv (А + б). Из того, что V11 ->¦ у, a Cv определена для значений параметра, больших А + б, вытекает, что геодезические сп, начиная с некоторого N ^ N0, также должны быть определены для некоторых значений параметра, больших Ьп. Положим q„ = сп (Ь), где л ^= N. Из того, что bn > s (vn), вытекает, что сп \ [0, Ьп ] не может быть максимальной. Так как M является глобально гиперболическим и cH (0) С сп (Ьп), то можно найти максимальные нормальные времениподобные геодезические сегменты Y„: 10, d (рп, qn)]-*¦ M из рп в q,,. Положим Wn — у'п (0). Из того, что cv j 10, s (v)) — максимальная геодезическая и, значит, не имеет сопряженных точек, вытекает, что v не может быть предельным направлением для \w„: n^>N\. Поэтому максимальная геодезическая си., соединяющая р с q, существование которой обеспечивается леммой 8.6, примененной к {да,,}, отлична от cv. Эго приводит к оценке s (v) < А + б, которая противоречит неравенству А + б < < s (у). ?
