Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
369
где Rubcd — компоненты тензора Риманг—Кристоффеля относительно псевдоортонормированного базиса \ег.....еп_2, N, ?' (Y0)1;.
Ясно, что из неравенства Ric (?' (Z0)1 ?' (Z0)) ф 0 вытекает соотношение Rinin = —Rinni Ф 0, справедливое для некоторого 1 < CtCn — 2. Применяя лемму Б.4, получаем требуемое. ?
Используя леммы Б.З и Б.6 и определение сильного энергетического условия (см. определение 11.8), получаем
Предложение Б.7. Пусть (M, g) — пространство-время. Если Ric (v, v) > О для всех ненулевых непространственноподобных векторов из (M, g), то (M, g) удовлетворяет и типовому, и сильному энергетическому условиям. 374 Добавление В
УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Целью этого добавления является краткое описание уравнений Эйнштейна. Эвристический вывод этих уравнений можно найти у Франкла (1979, гл. 3). Поскольку эти уравнения допустимы лишь для многообразий размерности четыре, мы ограничимся этой размерностью.
Уравнения Эйнштейна связывают чисто геометрические величины с тензором энергии-импульса, который является величиной физической. Поэтому их можно использовать для того, чтобы сформулировать сильное энергетическое условие при помощи тензора энергии-импульса. В случае идеальной жидкости тензор энергии-импульса имеет простой вид. Эго обстоятельство важно в общей теории относительности потому, что в стандартных космологических моделях предполагается, что вещество вселенной ведет себя как идеальная жидкость.
В.1. Тензор энергии-импульса и уравнения Эйнштейна
Физическим обоснованием для изучения лоренцевых многообразий является допущение, что гравитационное поле можно эффективно моделировать при помощи некоторой лоренцевой метрики g, определенной на подходящем четырехмерном многообразии М. Так как каждое многообразие, допускающее одну лоренцеву метрику, допускает бесконечное число лоренцевых метрик, то необходимо решить, какую лоренцеву метрику следует взять для того, чтобы смоделировать заданную гравитационную проблему. Этот вопрос приводит к уравнениям Эйнштейна, связывающим метрический тензор g, кривизну Риччи Ric и скалярную кривизну с тензором энергии-импульса Т. Тензор T определяется из физических соображений, связанных с распределением вещества и энергии (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 3), Мизнер, Торн и Уилер (1977, гл. 5)). Уравнения Эйнштейна можно записать в следующем виде:
Ric--Rg + Ag = 8лТ,
(В.1) Уравнения Эйнштейна
371
где Л — постоянная, известная как космологическая константа. Постоянный множитель 8л вводится просто из соображений масштаба. В локальных координатах уравнения (В.1) принимают вид
Rij - 4" Rgti + ^gtj = 8пТи, (В.2)
где 1 i, j с 4.
Кривизна Риччи и скалярная кривизна требуют от компонент gij метрического тензора двукратной дифференцируемости. Таким образом, уравнения Эйнштейна представляют собой (нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных относительно метрики и ее первых дєух производных. Эти шестнадцать уравнений сводятся к десяти уравнениям в силу того, что все тензоры в формуле (В.1) симметричны. Последующая редукция к шести уравнениям (см. Мизнер, Торн и Уилер (1977)) возможна вследствие тождества
4
J (я</ - 4- Rgij + Ag") / = о (В.З)
/=1
для кривизны, из которого следуют четыре консервативных закона
4
IsTiJi = 0. (В.4)
i=i
Здесь символ ,/ обозначает ковариантное дифференцирование в направлении xL
Уравнения Эйнштейна не определяют метрику на M без достаточных граничных условий. Например, пусть M = R2 X S2 = = {(*, г): t ? R, г > 2m\ X S2 и А = 0, Tlj = 0, dQ2 = dQ2 + + sin2 0 dtp2. Тогда M с этими космологической постоянной и тензором энергии импульса допускает в качестве решений уравнений Эйнштейна и плоскую метрику ds2 = —dt2 -f dt2 + г2 dQ2, и метрику Шварцшильда ds2 = — (1 — 2mir) dt2 + (1 — 2m/r)'1 dr2-f -f г2 dQ2. Каждая из этих метрик является асимптотически плоской и риччи-плоской (т. е. Ric = 0). Однако метрика Шварцшильда имеет ненулевой тензор кривизны, и, значит, эти метрики не изометричны.
С другой стороны, вычислительные соображения показывают, что уравнения Эйнштейна должны определять метрику с точностью до диффеоморфизма (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 88)). Отметим, во-первых, что метрический тензор имеет 16 компонент, которые в силу симметрии сводятся к 10. Во-вторых, 4 из этих 10 компонент можно объяснить размерностью М, которая допускает 4 степени свободы. Тем самым уравнения Эйнштейна дают 6 независимых уравнений для определения 6 существенных компонент метрического тензора. Строгий подход к проблеме сущест-13* 372
Добавление Б
вования и единственности решений уравнений Эйнштейна, использующий поверхности Коши для построения начальных условий, можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, гл. 7); см. также Mapc-ден, Эбин и Фишер (1972, с. 233—264).
В.2. Сильное энергетическое условие и тензор энергии-импульса
Свяжем теперь сильное энергетическое уСЛОЕИе Ric (У, v) О для непространственноподобных векторов с тензором энергии-импульса. Чтобы выразить скалярную криЕизну R в точке р і M через Т, выберем в TpM ортонормированный базис Ip1, ег, е3, е4]. Тогда из формулы (В.1) получим, что
