Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Используя равенства (А.20), g (ег, ех) = —1 и g (е2, е2) = +1, получим, что
Ric (V, v) = —g (R (еи ех -h е2) (ех + е2), ех) +
+ g (R (е2, ех + е2) (<J1 + е2), е2).
Из трилинейности отображения (X, Y, Z) -> R (X, Y) Z и тождества для кривизны R (X, Y) — —R (Y, X) вытекает, что
Ric (V, V) = —g (R (<?!, е2) е}, ej — g (R (C1. е2) е2, C1) +
+ g (R (е2, ег) ех, е2) + g (R (е2, ех) е2, е2).
Тождества R (W, Z, X, Y) = -R (Z, W, X, Y) и R (W, Z, X,
Y) = —R (W, Z, Y, X) для тензора Римана — Кристоффеля (см. (А. 19)) приводят к требуемому результату Ric (v, v) = 0. 368 Добавление В
ТИПОВОЕ УСЛОВИЕ
В разд. 11.2 мы использовали определение (см. определение 11.7), что времениподобная геодезическая с с касательным вектором W = с' удовлетворяет типовому условию, если для некоторого t0 из области определения кривой с эндоморфизм кривизны
R(-,W)W\t- К±(с(у)^К±(с(у)
не равен тождественно нулю, т. е. существует у ^ K1(C(^o))1 такой, что R iy, W (t0)) W (t0) ф 0. В этом добавлении мы покажем, что сформулированное условие эквивалентно обычно используемому в общей теории относительности условию того, что
WcWfaRb] Cll [eWn Ф 0 (Б. 1)
в точке с (t0). Здесь K1 (с (У) = {о Є TcUo)M: g (v, с' (t0)) = 0\. Мы будем использовать также еще одно определение гл. 11 (см. определение 11.7) о том, что изотропная геодезическая ? удовлетворяет типовому условию, если для некоторого t0 из области определения кривой ? эндоморфизм факторрасслоения
Я (•, ?' (to)) ?' (tQ): G (? (t0)) -> G (? (to))
нетривиален (см. равенство (9.25) разд. 9.3, определяющее G (? (to)))- Мы покажем, что это условие равносильно тому, что неравенство (Б.1) выполняется в ? (t0), a W = ?'. Таким образом, пространство-время (M, g) удовлетворяет типовому условию тогда и только тогда, когда у каждой непродолжаемой непростран-ственноподобной геодезической у с касательным полем W существует некоторая точка, в которой выполняется условие (Б.1).
Достаточным условием того, чтобы типовое условие выполнялось вдоль непространственноподобной геодезической у, является неравенство Ric (у', у') ф 0 в некоторой точке на у. Отсюда следует, что пространство-время, в котором Ric (v, v) > 0 для всех ненулевых непространственноподобных векторов V, должно удовлетворять и типовому, и сильному энергетическому условиям. Типовое условие
365
Начнем с доказательства того, что типовое условие для времениподобной геодезической можно описать посредством неравенства Rbnen Ф 0.
Лемма Б.1. Пусть с — времениподобная геодезическая и I^1, V2, ..., vn ~ с' (t0)\ —базис пространства Tc(to)M. Если компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относительно этого базиса, то с удовлетворяет типовому условию в точке Z0 тогда и только тогда, когда Rb,.e,i ф 0 в с (Z0) для некоторых b, е (1 с b, е с п — 1).
Доказательство. Если с удовлетворяет типовому условию в Z0, то существует Ух f V'' (с (Z0)), для которого R (ylt vn) Vn Ф 0. Из трилинейности R и равенства R (Vn, vn) = 0 ввиду наличия JZ1 вытекает существование в линейной оболочке векторов V1, ..., Vn^1 такого вектора у, что R {у, vn) Vn Ф 0. Используя невырожденность g в точке с (Z0), получаем вектор X1 G Тс^ц)М, такой, что
R (X1, vn, у, vn) (хи R (у, vn) vn) Ф 0. Здесь R — тензор Римана—Кристоффеля, определенный в добавлении А.2, формула
(А,19), Из полилинейности R и равенства R (vn, vn, у, vn) = 0 вытекает, что в линейной оболочке векторов V1, ..., существует вектор х, для которого R (х, Vn, у, Vn) Ф 0. Отсюда следует, что Rbnen Ф 0 для некоторых Ь и е, подчиненных условию 1 -с <6, е с п — 1.
Обратно, если Rbnen ф 0, то R (vb + avn, vn, Ve + ?un, vn) =
= R (vb, vn, ve, vn) ф 0 для всех a, ?, ? R. Поэтому R (ve + + $vn, vn) vn ф 0 для всех ? t P; откуда вытекает, что R (у, vn) Vn Ф 0 для некоторого у Є V1 (с (Z0)). ?
Покажем теперь, что соотношение (Б.1) описывает типовое условие вдоль времениподобных геодезических.
Предложение Б.2. Времениподобная геодезическая с с касательным вектором W = с' удовлетворяет при Z = Z0 типовому условию в том и только том случае, когда
WcWaW[aRb] cd [eWf] Ф 0
в с (Z0).
Доказательство. Без потери общности можно предполагать, что с — нормальная геодезическая (с единичным вектором скорости). Поэтому для вычисления нужного нам тензора можно использовать ортонормированный базис Ie1, ..., еп = W = с' (Z0)} в с (Z0). Компоненты W относительно этого базиса и дуального 366
Добавление Б
кобазиса задаются соотношениями W1 = ... = Wn~l = W1 = = ... = Wn_! = 0, Wn = 1, Wn = —1. Следовательно,
WWWlaRb] cd [eWn = -J- [WaRtnneWf - WbRanneWf - W0RbnnfWe +
+ WbRannfWe) = [6aRbnne&" — tf Rannetf — SaRbnnftf + б"Rannftf] ¦
Легко видеть, что это выражение отлично от нуля тогда и только тогда, когда Rbnne Ф 0 для некоторых 1 с Ъ,е <. п — 1. Сформулированный результат вытекает из леммы Б.1 вследствие равенства Rbnne = -Rbnen. ?
Покажем теперь, используя лемму Б.1, что если Ric (с', с') Ф Ф Ob некоторой точке времениподобной геодезической с, то с удовлетворяет типовому условию.
