Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Равенство (А.4) можно выразить также системой линейных дифференциальных уравнений. Выберем на M локальные координаты (U, (Xі, ..., хп)) и рассмотрим естественный базис д/дх1, ..., д!дхп относительно этих координат. Коэффициенты Ykij связности V в координатах (л:1, ..., хп) определяются соотношениями
= S <А'5>
Используя эти коэффициенты, можно записать уравнение (А.4) в виде системы
d2xk , г,* dxl dx'
dP
S ^4--^-=0. (А.6,
і. /=і
Коэффициенты связности можно использовать также для локального представления действия связности V. Если векторные поля А и В имеют локальные представления
s=S "'«lb
I=I
то Va В имеет локальное представление
ft^i \г=Г ,-"і ' дх a58
Добавление А
Тензор кручения T связности V — это функция, которая приписывает каждой точке р ? M билинейное отображение Ж (р) X X Ж (р) ->- Ж (р), задаваемое по формуле
T (X, Y) = VxK - VrX - [X, Y]. (А.8)
Здесь через [X, Y] обозначена скобка Ли векторных полей X и Y, которая задается по правилу [X, Y] (/) = X (Y (/)) — — Y (X (/)), где / — произвольная гладкая функция. Значение T (X, Y) Ip зависит только от связности^ и значений X (р), Y (р). Следовательно, T определяет билинейное отображение TpM X TpM -у TpM в каждой точке р ? М.
Используя косую симметрию скобки Ли, легко убедиться в том, что T (X, Y) = —T (Y, X) и, значит, тензор T кососимметричен. Из того, что [д/дх1, д/дхЦ = 0 для всех i, j (1 с i, / < п), получаем, что
-Sr)r^- (А'9»
Таким образом, тензор кручения определяет меру несимметричности коэффициентов связности. Ясно, что T = Ob том и только том случае, когда эти коэффициенты симметричны по нижним индексам. Аффинная связность V, тензор кручения которой T = O, называется связностью без кручения или симметричной связностью.
Кривизна R связности V есть функция, которая каждой точке р ? M и любой паре X, Y ? Ж (р) ставит в соответствие /-линейное отображение R (X, К): Ж (р) -> Ж (р), задаваемое формулой
R(X, У)Z = VxVyZ-VyVxZ-V[x.y]Z. (А. 10)
Поэтому кривизна дает меру некоммутативности V^ и Vy-Следует заметить, что некоторые авторы пользуются иным выбором знака для кривизны:
R(X, Y) Z = —VxVyZ + VyVxZ +VtX1ViZ;
соответственно изменяются и некоторые из свойств кривизны, приводимых ниже.
Из того, что отображение (X, Y, Z) R (X, Y) Z из Ж (р) X X Ж(р) X Ж(р) в Ж(р) /-трилинейно, вытекает, что R представляет собой тензорное поле и что R (X, Y) Z |р зависит только от V, X (р), Y (р) и Z (р). Следовательно, если х, у, z ? TpM, то эти векторы можно локально продолжить до соответствующих векторных полей X, Y, Z и определить R (х, у) z = R (X, Y) Z |р.
Тензор кривизны. — это (1, 3)-тензорное поле, также обозначаемое R. Если © ^ Tp M — кокасательный вектор в точке р и х, у, z ? TpM, то определена
R (©, х, у, г) = (©, R (х, у) г) = © (R (х, у) г). (А. 11) СвязносгНи и кривизна
359
В локальных координатах имеем
R= V Rijkm ® dx! ® dxk ® dx"\ (А. 12)
дх1
С, /, к, т
где
^+S -1 r^- (АЛЗ)
а=1
Если X = 2Х'д/дх<', Г = 2У!д/дхс и Z = UZ'd/dx1, то
R(X1Y)Z= У RiibrZiXkYin^r. (А. 14)
i-—J дх
С, /, А, m
А.2. Псевдоримановы многообразия
Пусть M — гладкое гіаракомпактное хаусдорфово многообразие и я: TM ->¦ M — касательное расслоение М. Псевдо римановой метрикой g на M называется гладкое симметричное тензорное поле типа (0, 2) на M,. такое, что для каждой точки р M тензор g |р: TpM X TpM -> R является невырожденным скалярным произведением с сигнатурой (—, ...., —, +, ...., +)• Невырожденность здесь означает, что для каждого ненулевого вектора V ? TpM найдется вектор w tf TpM, такой, что gp (v, w) Ф 0. Мы ограничимся рассмотрением только гладких метрик, хотя некоторые авторы изучали псевдоримановы метрики и более общего вида (см. Паркер (1979), Тауб (1980)).
В локальных координатах (U, (х], ..., х")) на M псевдорима-нова метрика g может быть представлена в следующем виде:
п
S \и = H Si] (X) dx(? dxi, !, /=1
где gі} = gji и det g Ф 0. Если у метрики g s отрицательных и г = n — s положительных собственных значений, то ее сигнатура будет обозначаться через (s, г). Для каждой фиксированной точки р (J M существуют локальные координаты, в которых g |р можно записать в виде diag | — 1, ..., —1, +1, ..., +1}.
У каждого псевдориманова многообразия (М, g) есть связанное с ним псевдориманово многообразие (М, —g), получаемое путем замены g на —g. За исключением некоторых второстепенных изменений в знаках, между (М, g) и (М, —g) нет существенных различий. Поэтому результаты для пространств сигнатуры (s, г) всегда можно перевести в соответствующие результаты для пространств сигнатуры (г, s) путем подходящих изменений знаков и обращения неравенств, a58
Добавление А
Для заданного псевдориманова многообразия (M, g) существует единственная аффинная связность V на M, такая, что
Z(g(X, Y)) = g (VZX, Y) + g (X, V7Y) (А. 15)
и
VxY ~VYX = [Х, Y] (А. 16)
для всех X, Y, Z Q Ж (M). Эта связность V называется связностью Леви-Чивита многообразия (М, g). Равенство (А. 15) является требованием того, чтобы связность V была совместима с g. Полагая в (А. 15) Z = с', нетрудно заметить, что параллельный перенос векторных полей вдоль любой кривой с в M сохраняет скалярное произведение. Равенство (А. 16) является требованием того, чтобы связность V не имела кручения (см. формулу (А.8)). Коэффициенты связности V задаются формулами
