Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г ^ + у) Г (V - |i +1) Pf (cos в) = J= 2^ Г (V + р + 1) (sin ЬГ X.
X [J(coe ?+ і sin в ch Єр-(sh tf* dt—
— J (сов в—і sin в Ch <)-»-*-! (ShZ)jIl dt], (19)
Rep>—у( Re(v:fc|x-H)>a. 3.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 15?
Из 3.4(2) и (2) имеем
Г ^ + у) Г (V—ц +1) О J (cos в) = У Ar'" -1Г (v + ц + 1) (sin Bf X
DO
X [J (cos в + і sin в ch *)-»-!>•-» (sh ^aC- dt + о
DO
+ ^ (cos6-і sin в ch t)-^-1 (sh tyv- dt], (20)
RefI. > —у, Re (м ± (і +1) > 0. Из 3 4(8) и (12), а также из 3.4(2) и (12) получаем соответственно
pj(eose) =-Wj-X ' nr(v — (i+1)
X [e2 ^ (cos 0 + і sin 0 ch t)-"-1 ch (|rf) dt — -I fox OO
— e2 ^ (cos 6 — t sin 9 Ch tГ*-1 ch (pt) dt\, (21)
QJ (cos 9) = X
-4-'і»«?0
x(. • j
(cos в + і sin 9 ch t)-"-' ch (fJ.t) dt +
1 tp*?
+ e2 j (cos 0 — і sin 0 ch f)-»~l ch (fit) dt\ .
(22)
Обе формулы справедливы, если Re(v±n)>—1, чф—1, —2, —3, ... Из 3.4(5) и (6) следует
к
Pj(cosfl) =—2^ (Smfl)-H- Г (cose+i SinBcos ^(sin t)~^ dt, (23)
(т—0
Re(i<y,
и из 3.4(5) и (13) следует і .
'Pl* *
PJ (cos 8) =Irf-^fJ (cos в — t sin в ch ?)' cos Qit) dt
0
oo -,
+ sin{fAn)^ (cos0 +/sin e ch ty<pt ^J, (24) 0<9<y, Re(-v—,i)>0. !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Из 3.4(5), (16) и (17) вытекает Pf (cos 6) cos (m^) =
2*
= і Icos в Ч-' sin в cos (Ф —cos ^отФ) г/Ф, (25>
О
Pf (cos в) Sin (тф) =
2ic
= Im т J lcosfl+/Sin в COS (Ф — <|/)]'sin (тФ)«ГФ, (26>
0<в<|.
В случае Y < 9 < п выражение в правой части равенств (25) и (26) может
быть вычислено с помощью 3.4(14).
Делая подстановку cos 8 + і sin 8 cos t = eiv, выводим из (23)
Pf (cos 8) =
= j(cos«-coser^^cosf(,+^)«|^, (27)
0<6 <7t, Re fx < Y •
Эта формула называется формулой Мелера—Дирихле.
Далее (Сорадп, 1945, стр. 81)
*
0„(cos6)= ji»+1 j I sin < Iя (sm в + і cos б sin f)-*-1 dt. (28)
— в
Формула
г
Г (р) Р~ (г) = (г8 — 1) 2 \ P4 (t) (г — dt (29)
1
справедлива, если Re ft > О и г не является вещественным числом, лежащим на отрезке [—1, 1]. Она может быть легко выведена из 3.6(3) и 2.1(7). Инте-
Z
грал —1)я(г — tf~*dt, который встречается в доказательстве, может 1
быть вычислен с помощью подстановки
t=zv(z— 1)+1 и формулы 1.5(1). Его значение равио
<г Г (в + 1 + ft)' 3.8J СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СМЕЖНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЛЕЖАНДРА Wl
Точно так же имеет место равенство
_? 1
Г (ft) Pr11(AT) = (I-Aj) 2 Jp4 (t)(t-x)»-'dt, (ЗО)
X
Re ц > О,
вытекающее из 3.6(3), 1.5(13) и 3.4(5). Аналогичьо имеем
?со
Г (ft) Q- *(х) = е м» (z' - 1) 2 $ О, (*) (t - гГ' dt, (31)
Z
|«|>t, Re ft > 0, Re(v—|t-f 1)>а
Последнее равенство вытекает из 3.2(5), 1.5(2) с помощью подстановки t = vz 4- z.
Далее, из 3.2(45) и 2.12(15) имеем
Pu ___I
Г (1 — (t) Of (г) = e'^V* _ і)2(г + /?"=ГТ) ' а Х
XJe-^+H-')' {(1 -е~')[z + /г*=!-Ze-tAr /Ї^Л e-'l Г»-''' dt, (32) О
Re(t<i-, Re(v + ,t+l).>OL
Соответствующие выражения для Pf (г), Qf (cos в) и Pf(cosв) выводятся с помощью формул 3.3(9), 3.4(2) и 3.4(8) соответственно. Формула
PfW =
-U оо I
- 2^ Г (1 — 2р.) (г8 — 1) 2 Г s * - "a .
Г(і — ft)г(— ft—v)r(v—^t-J-1) 3 (1 + 2tz +t> ll^dt' (33)
O
Re((t + v)<0, Re (ft — v)< 1, I arg (г a: 1) J < «,
может быть доказана, если записать
1 + Itz + t* = (1 + tf Il — 2t (1 + ty* (1 — г)],
разложить подынтегральное выражение в ряд, почленно проинтегрировать и использовать равенства 1.5(12), 2.1(2) и 3.2(7). Относительно вьіражеі ий функций Лежандра с помощью контурных интегралов см. Гобсон, 1952, стр. 177—194, 226—234, 258.
3.8. Соотношения между смежными функциями Лежандра
Рекурреьтные формулы для функций Лежандра могут быть выведены при помощи соотношения Гаусса между смежными гипергеометрическими функциями (см. 2.8). Так, из 3.2(14) и 2.8(30) вытекает, что
_ J^ "
P> + 2(z) + 2(ft.f l)z(z'-l) ^ + '(2) = (*-^ + *+!)/3?^ 0)
в Г. Бейтыен, А. Эрдейи ,162 / и ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА {Гл 3
из 3.2(28) и 2.8(28)—что
(2v + l)zPf(z) = (v-ft+1) Pf^(Z)+(V4-^)Pf _ ,(z), .(2) из 3.2(24) и 3.2(4) — что
Pf- і («>-/*+1 (г) = - (2ч + 1) - 1 (г). (3) Следующие формулы выводятся из формул (1) — (3): .(*-1»)(ч-Г + О Pf +1 (г)-Ь + V-)(V + fi + J)Pf _, (г) =
= (2v + l)/fclPf + ,(2), (4)
Pf _ ,(Z)-ZPf(Z) = -(V-^l)ZF=H: Pf "'(г), (5)
г Pf (Z)- Pf +, (г) = - (V + ft) КіПГГр? -1 (г), (6)
(v - ft) г Pf (г) - (v + ft)P?_, (z) = /F=T Pf +1 (г)> (7)
(v - ^ +1) Pf + , (z) — (v + ft + 1) z Pf (z) = Pf + 1 (z). (8) Дифференцируя 3.2(7) и применяя 2.1(7), получаем
Исключая отсюда с помощью (6) Pf-'(г)> получаем
tfPf (z)
(г*-'> =(v*+1) +1 (г)-{v+2 pS(г)=
= vzPf(z)-(v + n)Pf_,(z). (10) Легко установить, что формулы (1) — (10) справедливы также для Qf (z).
Принимая во внимание, что Pf (х -j-i0) = e Pf (х), получаем сле-
дующие рекуррентные соотношения для функций Лежандра на разрезе:
Pf + 2W + 2((t + l)jr(l-A:») aPf + l(*) +
' +(v-ft)(v + ft+l)PfW = 0, (U)
(2y + l)xPfW = (v-ft + l)P^+1(JC) + (v+ft)Pf_1(Jr), (12)
