Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
j r(« + 2v)r(v + i) Ч«+1)
1С _
X ^ (Z + /z" — 1 COS (sin tf-1 dt, Re V > 0; (22)
Ca(Z)=-?=.-і-^X
r(«+2v)r(v + 4)
CZ (cos <?)=-?=-і-^ X
W У« r(v)r(2v)r(« + l)
X (Sin f)1"«* j cos l(v + а) V] (cos V — CM dv, (23)
Ren>0, 0<y<»;
OO
CJz)= —-sin(в*) C (l+2fe-b«*r*r*-1 dt, (24)
* nJ
— 2 < Re V < Re а < 0, I arg(z ± 1)| <*» О дальнейших интегральных представлениях см. Dinghas, 1950. 3.16) НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 181
Применяя формулу обращения преобразования Меляина к последнему соотношению, получаем
,'4Zoe «2<»> $-sfer*.- .....т
С — ІОО
—2<Rev<c<0.
Из (4) и п. 3.8 следует, что
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(3D
Легко найти, что вторым решением дифференциального уравнения Гегенбауэра (21) является
ад= 24^г(:+»а)+1) Fhi> V+T+Ь v+a+L: *")• «>
Функция Dta(Z) удовлетворяет тем же самым рекуррентным соотношениям, что и Ca(Z).
Соотношение между Dyn(Z) и C^1(Z), аналогичное соотношению Кристоф-феля между Qn(z) и Рп(г) (см. 3.6(24), 3.6(28)), дано Ватсоном (Watson, 1938)
Dl (г) = Г (2v) Cn (z) Jff-I)""1 dt-
[1 А]
--rw У (, + .,а.^ца-^+'-^с; 2m l(2),
-.-4 ' (»-"!«('W „-2т-I Kh
(Zs-I) 2 т=0
Re V >0.(33)
3.16. Некоторые другие обозначения
Множитель е^» в определении Q^ (г) 3.2(5) часто опускают (Мак-Роберт). В определении Qv(z), данном Бернсом, множитель в 3.2(8) заменен
sin Иу+|*)].
Sin (vie) •
«роме тою, множитель е'<1* в левой части равенства 3.4(2) опущен.
(а + 2) с;+2 (Z) = 2 (V + а +1) г С* +, (г) - (2v + а) Ca (г),
а Cl (z)= ЩгСа±\(z) - С+\ («)],
(а 4" 2ч) Ca (z)—2к [С* +1 (2)-2 С;± 1(2)1,
а Cl (Z) = (а - 1 + 2v) г Ca _ l (z) - 2v (1 - 2«) Ca I ? (*).
j;Cl(z) = bCa + \(z). Из 3.3(1) и (4) вытекает
с«(г)=_ ietSTW & 182 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (Гл. 3
'і Присоединенные функции Лежандра по Феррару (MacRobert, 1947, стр. 307) обозначаются Т* (х) и тождественны Pf (лг) (—1<ж<1).
Иное обозначение для функций Гегенбауара было использовано Чу и
Стреттоном (Chu, Stratton1 1941). Вместо (4) и (32) имеем соответственно
*
*
я: ю-<*•-! fT
Эти функции удовлетворяют Следующему дифференциальному уравнению: (zs — 1) w" + 2 (V + 1) SWr — а (а + 2v + 1) w = 0. ГЛАВА 4
ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
4.1. Внедение
Гипергеометрический ряд Гаусса F (а, Ь\ с; г) может быть обобщен путей введения р параметров, играющих ту же роль, что а и Ь, и q параметров^ играющих ту же роль, что с. При этом получается ряд
cxj
к, ... , V Zl , . V Юл - Ыпг" nv pFq I.......P9 J~?Fq ( " P* Z) - L (R1)n ... (pq)n «! ' (1>
n —0
который называют обобщенным гипергеометрическим рядом. Ряд Гаусса в этих обозначениях имеет вид
Л (в, b-, с, z) = F[a' Ь> г].
Зиесь
(«)„=!, (в)я = а(в + 1) ... (а + „_1) = ^±Ц) (2>
и г — комплексное переменное. Вообще говоря (то есть за исключением некоторых целых значений параметра, для которых ряд состоит из конечного числа членов или не имеет смысла), ряд pFq сходится для всех конечных значений г, еслн p^q, сходится при |а|<1, если p=.q-\-1, и расходится при всех z-ф 0, если р> q -j- 1.
Числа Oi1, ... , ар называют параметрами числителя, а числа р1( ..., р.— параметрами знаменатетя
Ряды pFq не являются единственными обобщениями ряда Гаусса. Гнпер-геометрическое \равнение есть линейное дифференциальное ) равнение типа Фукса, в то время как ряд (1) удовлетворяет линейном\ дифференциальному \равненшо, которое, вообще говоря, не является сравнением типа Ф\кса. Таким образом, дифференциальные сравнения можно использовать, чтобы ввести др\гое обобщение, которое явжяегся решением сравнения тнпа Ф\кса высшего порядка. В связи с этим Л, Похгаммер (1870) изучил наиболее общее однородное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с особыми точками аи ва, ..., ап, оо такое, что общее решение в окрестности любой особой точки в, (v=l, 2, ..., п) имеет вид
СО OO
2 —"vr + zP 2 с'т(2 — а„у», яг — О т — 0 184
обобщенный гипергеометрическии ряд
[Гл *
где с0, с„ ..., с„_з н Cj — произвольные постояьные. Аналогично разложение общего решения при больших значениях г имеет вид
oo со
f^gmZ-"1+? J^gmZ-"1,
IB-^O m=0
W go, •••» Sn-г и Si — произвольные постоянные. Можно показать, что дифференциальное уравнение однозначно определяется этими требованиями.
Исходной точкой иного обобщения является s-функция Шварца (см, 2.7.2), ¦которая отображает полуплоскость на треугольник, образованный тремя дугами окружности. Коппенфельс (Koppenfels, 1937, 1939) изучил функции, отображающие на полуплоскость область, оіраниченную четырьмя дуіами окружности, такую, что два из углов криволинейного четырехугольника
я . я Dn . Зл Зл
равны -g-» а ДР>гие Два либо -g- и у, либо "g" и "2 '
Райт (Е. М. Wright, 1935, 1940) изучил асимптотическое поведение суммы
2°° Г К + P1 п) ... Г (а,+ ?0 п) z*
„г(Рі+|х,я) ... Г(р,+(*,я) ItaO
при больших значениях | z |. Здесь р/. и fi* — вещественные положительные числа такие, что
9 P
/»1 г«1
Если все Iit и ?r равны единице, этот рнд отличается от pFq лишь постоянным множителем.
