Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
vm Of) - Kv »r.... тд(*і. .... хп) (6) 262 ГЛ. 18. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 'ИЛ определяются с помощью ароизвоОящеи функции
[1 -2«а. ,) + IlеИ^+'-1"2- S«Г* • • • aXv.... т„(*i.....О-
(7)
В этой сумме, как и в аналогичных суммах, суммирование ведется по всем неотрицательным целым значениям т„ ..., т„ Очевидно, что Vsm (j) является многочленом степени mk ОТ Xft, причем этот многочлен четный или нечетный по X^ в зависимости от того, четно или нечетно тпрн этом
м = т, 4-... -f ип (8)
является степенью многочлена Vim (х).
При п — 1 сравнение с формулой (7) и 10.9 (29) показывает, что
S
Vsm(X) = Cl(X), я-1. (9)
При л = 2 и S = O, 2 многочлены (6) были введены Эрмитом (Hermit, 1865, 1865а), а при любом п — Дидоном (Dldon, 1868). Эти многочлены и связанные с ними вопросы весьма детально изучены во второй части книги: AppeM Катрё de FferieI (192b), где содержится также подробная библиография. Дополнительные ссылки даны в библиографии к этой главе, см. AngeIescul Appell, Brlnkman и Zernike CaccloppoIl Chen, Dlnghas, Erddlyl, Koschmleder, Орлов, Schmeldler.
Разлагая производящую функцию (7) по степеням аи ..., ат, получаем явное выражение
, .. тп. Я1„
IiH-S- 1\ 2 1 ... хпя
^m1.....mn(xl.....-5-]
m, I .. m„!
( m, mn I-M1 l-wn л-t-s—3. 1 1 \
^'fT..... 2 ' 2 .....~Г • 2 'P1.....
(10)
где
Fe(ai.....«„.Pv-. ?„. v: *,, .... *„)-
-S
(«і)яіі • • • Mmn (Рі)яіі • • • (Mmn _Я1, Mn . mx\...rnn\(4)m{+_+ntn <П>
является одним нз гипергеометрических рядов Лауричеллы от п переменных (Appell, Катрё de F6rlet, 1926, гл. VII). Существуют также представления Vsm через гипергеометрические ряды по возрастающим степеням Xk (иногда по убывающим степеням). Эти представления имеют различный вид в зависимости от четности т* (см также 10 9 (21) и 10.9 (22)).
Если положить в (7) я* = tbk и сравнить коэффициенты при tm в обеих частях, то получим соотношение
2 о...«, ...^1.....(12) 12.5}
12.S МНОГОЧЛЕНЫ V
263
С помощью явной формулы можно проверить, что многочлен, определяемый равенством (10), удовлетворяет следующей гипергеометрической системе дифференциальных уравнений в частных производных:
I
dV
Ъх- 1 Ar, xJ
j dxj
+ («/ + D
(« + n + s-UV+S**
дУ дхь
к = 1
дУ dx*
H=I
= 0, У = 1,
п. (13)
где т — степень, определяемая формулой (8) Складывая этн п ураннений, мы видим, что все многочлены степени т. удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных
SV дхк
>0.
)=\ ' \ ' *=1
(M)
Существует замечательное символическое представление наших многочленов
і*»- і..'J-^f=aVjj+-?)(*¦ m
где оFi — обобщенный гипергеометрнческнй рял (CM. 4.1(1)) H
д' . . д1
' л 2 • ••
дх\
дх{
(16)
— оператор Лапласа. Это представление можно вывести с помощью связи между многочленами Vsm и гиперсферическими гармониками (см. п. 11.8). Эту же связь можно использовать для гого, чтобы доказать, что иніеграл
Сд —1>
J (1-г2) 2 Vfn (?) Vsm, (S) dx (17)
обращается в нуль, если т ф т', а также если /и = т' и некоторые из разностей Ini — Tni являются нечетными числами Так как этот интеграл не обращается в нуль, если т =» т' и все разности mt — т[ четные, то функции Vsm не образуют ортогональной системы многочленов
Формула, соответствующая формуле Родрига (равенство 10.9 (11)),
m+n+s-l
Я+Л-І
имеет вид
^1! .HlnI(I-Ts) *
VL
(—і)» —?-— (і _ Г2\ 2 ' , Я1. а И» 4 '
дУі 1
(18) 264 гл. 12 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (124 где в правой частя
у, ° YT^Ti' /=1.....* (19)
являются независимыми переменными и
1_г»-(1 + ЦР)_І. (20)
Эта формула может быть выведена из производящей функпии (7) путем подстановки (19) и замены at на CiiV 1 — г2.
Производящая функция лежит также в основе вывода соотношения
Уя"м,!... 1я„!Г (!) Vsm (4) = Im (п + s- l)ffl Г(-^) X
••• ¦*я'л(1— H)^-1 [Ці)! + '(ї, j)]~m-n-s+1 dx. (21)
Относительно других интегралов см. Dinghas (1950).
Рекуррентные соотношения, формулы дифференцирования и аналогичные соотношения также вытекают из производящей функции; они собраны в книге: Appell, Kampfe de FferJet (1926, п. LXXVI).
12.6. Многочлены U Вторая система многочленов
V» (S)=^1.....тп(* I.--- *„) О)
определяется с помощью производящей функции
{[С, d-UNW(I-Ilsf) H- S О ... ......m„(*x.....*я). (2)
При я=»1 мы имеем
S
Usm(X)=Cl(X), п = 1. (3)
При я = 2, S= 1, 2 эти многочлены были введены Эрмитом; для произвольного п см. литературу, указанную в п. 12.5.
Наиболее важным свойством этих многочленов является то, что они образуют систему, биортогональную к системе Vsn. Интеграл
j U-^fm VtnU) Uf (i) dx (4)
обращается в нуль, за исключением случая, когда Oil = Iu ..тп = 1п я j* (1 -r*){S~l)ft v% (S) Usm (S) dx - h*m =
2 V^ r^+') (S)m
2m+n + s — l ri(« + s — 1)/2J OilI... mnl ' Іі.в]
12 6. МНОГОЧЛЕНЫ V
265
Это свойство биортогональности может быть доказано путем использования производящей функции (см. соответствующее доказательство для многочленов Эрмита в п. 12.9). Обратно, Кампе де Ферье (Катрё de Ferlet, 1915) постулировал биортогональное свойство и вывел отсюда производящую функцию.
