Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
где
/О Уз —у3\
-У» O у, . \ уг -у, O /
<б>
(7)
Эти формулы определяют представление Кели ортогональной группы (см. Г. Вейль, 1947, стр. 84 и след.). Предстанление в виде (6) справедливо во всех случаих, в том числе и тогда, когда определитель матрицы у4У А обращается в нуль.
Используя обозначения (1), (2), (4), (5), 11.5(18), 11.5(19), 11.6(8), мы получаем следующий результат:
Формула преобразования сферических гармоник.
SUOD ¦= S (8)
Эта формула показывает дейстиие ортогонального преобразования О в трехмерном пространстве на сферическве гармоники и задает коэффициенты линейного преобразования функций 5* через сферические гармоники в четырехмерном пространстве. При этом переменными являются параметры Кели преобразования О
Фч>ру\ та, эквивалентная формуле (8), была доказана в работе: A Schmidt (1899) (см. также Hoenl, 1934). В неопубликованной згшетке Бейтмена по- iui 11.7/формула преобразования для сферичрских гармоник 249
казано, что коэффициенты при Sj1 в (8) можно выразить через гипергеометрический ряд. В форме (8) это равенство даио Герглотцем, доказательство которого приведено выше.
Для того чтобы доказать равенство (8), заметим следующее' 1. Гармонические многочлены Н™ (j) можно отобразить на произведение степеней пврбмбиных w w 2, полагав
jc1=w1w2, X2 + ix3 = а>1 -X2-YtXz = V13. (9)
В самом деле, в силу 11.5 (2) получаем
(w?-SW1W2*+»І*8)"- 2 Н™ ($)*"+Я1 (10)
т= —а
и следовательно,
/Cft) = <-l>W (п + т) «Гт*>2+т- 01)
Несмоіря иа то, что соотношение (9) налагает условия иа координаты г,, X2, х3, а именно:
*ї+*а + *!-0 (12)
(см. 11.5(25)), мы внднм из равенства (11), что полное множество H"' (j) линейно независимых гармонических многочленов отображается на множество линейно независимых произведений степеней w1 и W2.
U Если определить а. Ь, с, d равенствами 11.6(11), то линейное преобразование
w[ = aw j -J- bw2, W2 = Cw1 dw2 (13)
индуцирует линейное преобразование переменных W1, w2, Wj, wj, определяемое формулами
w\w'2 — (ad be) WiW2-аея?х -j- bdu%, wf = IabWiWl -f. a2w'f + б2«!, (14)
W2 = 2 CdWiW2 + C2Wj + rf2«^.
Если положить WriW2=X1l, w'i =x2-{-ixp W2= — JCj -J- іх'і я предположить, что
ad-Ьс = ? + ?+? + ? = 1,
то (14) является линейным преобразованием
S = Oj1 % = (х{, X2, JCg). (15)
где О задается формулой (6). Мы получили, таким образом, представление трехмерной ортогональной группы линейными унитарными преобразованиями в двумерном комплексном пространстве (см. Гельфанд, Минлор и Шапиро, |958, стр. 14). г 250 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
III. Подставляя в 11.6(13) выражение 11.6(11) для a, b, с, d и полагая s = , получаем
2л
JJfl&'ft) = (««, +bw2fn-k (CWi +dw/. (16)
/=о
Если II ^ll= 1, то из (II), (13). (14), (15), (16) и (6) вытекает формула преобразования (8).
Формулы 11.6(25) —11.6(30) являются следствиями того, что равен* ство (8) можно рассматривать как представление трехмерной ортогональной группы (относительно используемых здесь понятий см. Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1958). В частности, И.Ь(ЗО) вытекает из того факта, что характеристические числа ортогональной матрицы О, для которой 0=1, одно-
у,
значно определяются углом вращения, то есть числом -^l. Поскольку
характеристические числа матрицы U, соответствующей О при представлении ортогональной группы унитарными матрицами, зависят лишь от характеристических чисел самой матрицы О, то след матрицы U (который равен
Уд
сумме характеристических чисел матрицы U) зависит лишь от В соответствии с леммой 1 единственной сферической гармоникой, удовлетворяющей этим условиям, является, с точностью до постоянного множителя, правая часть равенства 11.6(30).
Y. Sato (1950) выразил преобразование О в ииде произведения трех простых преобразований, доказал равенство (8) для этих преобразований и дал таблицу коэффициентов (8) для п<7.
11.8. Многочлены Эрмита — Кампе де Ферье
Иной подход к изучению сферических гармоник принадлежит Эрмиту, Дидону и Кампе де Ферье. Далеко развитая и важная теория, построенная э і ими авторами, весьма полно изложена во второй части книги: Appell и Kampe de FerIet (1926). Мы не будем давать детальное изложение полученных ими результатов и ограничимся кратким указанием на то, что содержится в этой книге, отсылая читателя к самой книге для полного знакомства с теорией.
Обобщая конструкцию Максвелла сферических гармоник в трехмерном пространстве, определим следующие функции, зависящие от р + 2 компонент вектора $:
-......fr^ <ч
где г «= Il j Il и неотрицательные целые числа .....тр удовлетворяют
условию
mV + тз+ ••• ~Ь тр в я. (2)
Функция в левой части равенства (1) удовлетворяет уравнению Лапласа, ярляеіся коэффициентом при
яі, ira гп п МЛ IlJ МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА-RAMTTE ЯЕ ФЕРЬВ {51
в разложении функции
_9
I^i-V+ ••• + (xP-aP?<4>
В стєпєниой ряд по степеням переменных Al, ..., dp. Тогда
V*t.....тр (I1. • • У - .....тр to (б)
является сферической гармоникой степени п, которая зависит лишь от пер-
