Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
tn, т„ їй л , ___
X11X2*... хпя, и,, «2.....я»„ = О, L..........(2)
необходимо упорядочить эти одночлены. За исключением случая, когда области и весовые функции имеют весьма частный вид, не существуеі (единственной) системы ортогональных многочленов, и любая система ортогональных многочленов, получаемая с помощью упорядочения одночленов (2),
необходимо несимметрична по переменным лг,.....хп. Однако, используя
биортогональную систему многочленов, можно обойти эти затруднения
По-видимому, не существует развернутой общей теории ортогональных многочленов от нескольких переменных. Однако хорошо известны и детально изучены некоторые частные виды биортогональных систем, соответствующие классическим ортогональным многочленам одного переменного. Изложению этой теории посвящена книга: Appell, Кашрё de Fferlet, содержащая обширную библиографию по исследованиям, проведенным до 1925 года.
В этой главе мы дадим краткий очерк общих свойств ортогональных многочленов двух переменных и изучим несколько детальнее все системы биортогональных многочленов от двух в большего числа переменных, которые соответствуют классическим системам ортогональных многочленов одного переменного или являются их обобщениями. Есть миого ючек соприкосновения между материалами этой главы и глав 10 и 11.
І2.2. Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных
Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных были изучены Джексоном (Jackson, 1937), который рассматривал также ортогональные многочлены от трех и от двух комплексных переменных (Jackson, 1938, 1938а). В этом пункте и в п. 12.3 мы ограничимся случаем цвух вещественных переменных. Соответствующие свойства ортогональных многочленов от п переменных легко могут быть сформулированы по аналогии читателем.
Пусть задана область R в х, у-плоскости и неотрицательная весовая функция w(х, у). Если область R ограничена, то будем предполагать, что» интегрируема по области R, а в случае, когда область R не ограничена — что сходятся все интегралы
JJ w (*, у)xmy"dxdy, т. п = 0, 1,... (1)
R 12.21 12.». общие свойства 255
Свойства ортогональности, нормированности и т.д. будут пониматься отно-сительно скалярного произведения
i/rg) = f J f (х, у) g (X, у) о- (X, у) dx dy. (2)
R
Так как / и g йвляются многочленами, то интеграл (2) всегда существует. Упорядочим одночлены хту" следующим образом:
хтуп выше, чем хку1, если
(3)
либо m 4-" > k + l,
либо от +- п шя к -\-1 и I > п.
Упорядоченная последовательность одночленов имеет вид
1, х, у, х\ ху, у», Xі, х2у, ... " (4)
Упорядочение (3) индуцирует частичную упорядоченность многочленов от X и у. Мы будем говорить, что многочлен q (х, у) выше, чем р (х, у), если старший член (с ненулевым коэффициентом) в q выше, чем любой член (с ненулевым коэффициентом) в р.
Следует отметить, что упорядочение (3) выбрано произвольно и несимметрично относительно X и у. Мы будем рассматривать ортогональные многочлены, связанные с упорядочением (3), вообще говоря, иное упорядочение приводит к другим системам ортогональных многочленов.
Применяя процесс ортогонализации. описанный r п 10.1, к последовательности (4) и к скалярному произведению, определяемому равенством (2), получаем систему ортогональных многочленов. Мы будем записывать ее в виде
0ОО> qI0> qII. <?20> <?2I. q»2. ?зо» •••• (5)
так что qnm (х, у) имеет степень п по совокупности переменных л- и у и
степень т по переменному у, п = 0, 1,2..... от = O1 I1..п. Свойство
ортогональности имеет вид
Cnm' Ikl) = W Щ
где 5ri = O1 если г ф s, в I, если г =*s. При этом qnm выше, чем ^jkjt если либо п > к, либо я = /г и т > I.
Существует л —I— I многочленов степени п по совокупности переменных X и у, а именно:
їло. ?лі> •••> 0лл-
Любой многочлен степени п, ортогональный ко всем многочленам меньшей
степени, является линейной комбинацией qM.....qnn. Заметим, что такой
многочлен не обязательно является ортогональным ко всем многочленам, которые ниже его (разумеется, «ниже» в смысле, определенном в (3)).
Для любой вещественной ортогональной постоянной матрицы (сф, то есть такой, что
П
2 eHc") = .....л. (7)
JmJ
многочлены
я
Pnl{х' у) - S cIfnl<*• У)' '-0I It-V "г (8) 256 гл. 12. ортогональные МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ОД
попарно ортогональны, нормированы и ортогональны ко всем многочленам меньшей степени (но не обязательно ко всем более низким многочленам). Обратно, любые п -j- 1 попарно ортогональных нормированных многочленов, которые ортогональны ко всем многочленам меньшей степени, могут быть представлены в виде (8), где коэффициенты Cij удовлетворяют соотношениям (7). Заметим, что в pni (х, у) индекс л указывает на степень по совокупности переменных X и у, в то время как индекс I уже не указывает на степень по у.
Предположим, что существует аффинное преобразование
х' = ах + $у, у' = \>* + ду, об —?v = l, (9)
отображающее область R на себя и оставляющее инвариантной весовую функцию. Тогда для любого л
