Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
b4-S— 1 ,
-X--<&<n + s— 1,
(7)
то ряд Аппеля (С, 6)-суммируем во всех точках Ip таких, что
я+s-i 2
Ils-911 2 l/(s)t
является интегрируемой функцией OT J в S,
Следующие примеры разлож Firiet (1? п. LiaxvHI и XCI).
(-l)m(-*)m (I)
Следующие примеры разложения взяты из книги: Appell, Kampfe de п. Liay.....
2v V V "im \2]
,n + s + U 'к~т)~aTi'" IlallS"m K (8)
V 2 /(k+m))2
где k — натуральное число и суммирование ведется по всем значениям /K1.....т„ таким, что к—т является положительным четным числом;
n+s—1
/ я Л- с_1 \
IX
exp[/(a,s)]«2 2 T(^=I)
~ 2 J я+,_і (IIaII) ^m(S).
\ л / m+—j—
(в)
Г (s + -і) exp (a, j) J(s_m [ Il а И (1 - г*)] =
- [I Il а II (1 - r*)f"1Va ЕііЬ^- « (10)
В последних двух разложениях суммирование производится но всем неотрицательным целым ти ..., тп.
Случай л = 2 был детально изучен (см. Appell, Kampfe de Fferiet, 1926, ч. II, гл VII и работы, упомянутые в п. 125—12.7 этой главы). Другой подход к ортогональным многочленам в шаровых областях был использован в работах: Brinkman, Zernike (1935) и Orobner (1948) Многочлены, связан-вые с дифференциальным } равнением в частных производных Cl4F — О в шаровой области, были изучены Citilollo (1939), который получил для этого случая биортогональную систему Devisme (1932) ввел многочлены, определяемые с помощью производящих функций
(1 + [1 — Зол: 4- 3 («s — Ь) у — а'\-v, (U) IU| 12.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА 269
и использовал нх для изучения дифференциального уравнения в частвых производных
д*в , <?»« . (Pu - д*и л
bP-dF+TP + TF-t-SFIybF-(12)
Многочлены Ufa, Vfn можно обобщить, использовав фиксированную квадратичную Форму q> ($), взаимную форму ф ($) и билинейную форму q> (5, g) (см. 12.8 (6)-(8)). В этом случве производящая функция имеет вид
{[«р(а,5)-11* + ф(в)|1-ф(5)1}"2 =ЕаГ' -^euL ^ <13> я+д-t
[1-2(е. 5)+Ф(а)Г 2 =SflT1-eT^(S)- О4)
Эти многочлены были введены Эрмитом и изучены в работе: Angelescu (1916). Если ф (s) «=(?,?) = <р (ї), то многочлены, определяемые равенствами (13) и (14), совпадают соответственно с Ufa и Vfa
МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.8. Определение многочленов Эрмита
Как и в предыдущих пунктах,
S - (¦*!.....Хп) (1)
означает (вещественный) вектор.
IlJlI=V*?+ ... +X2n (2)
длину вектора 5 и
(е. j) = а,дг, 4- ... -\-апх„ (3)
скалярное произведение двух таких векторов. Через С мы будем обозначать фиксированную положительно определенную симметричвую квадратную матрицу с вещественными элементами, то есть
C=Icl,), І, J=I.....п, (4)
п
C1J = Cfi — вещественные, 2 cIjXlXf >0, ? 0.
Обратная матрица будет обозначаться через С-1. Ее элементами являются
IiL где -Д-, где
А = det Cfj, l,J= 1.....п, (5)
определитель матрицы С н Y^-алгебраическое дополнение элемента Cjl в Д. С матрицей С связана положительно определенная квадратичная форма
п
9(f) = (Cff) ^ ($.Cf)= S CtfXiXj (6)
t,J=l 270 ГЛ. 12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [12J и симметричная билинейная форма
п
Ф(Е, C4)- 2 cUxIli- (7)
Мы имеем также взаимную форму
Ф (ї) = Ф (С_1?) = (C-1JT, ї) - (s, С-1ї), (8)
которая также является положительно определенной квадратичной формой, и взаимную симметричную билинейную форму
¦ Of. = 9) = (ї. C_1v). (9)
Эти формы связаны друг с другом следующими соотношениями: ф(? + 9) = ф(ї) + 2ф(ї, Ч) + Ф(9), *fc + 4)-*(l)+**(l. » + *•«). (10)
Ф (I)-* (Ct)1 Ф (S) = Ф (C-1J)1
<р (ї + С"1 v) = Ф ($) + 2 (j, 9) + Ф (9), (11)
% (ї + C4) - ф (S) + 2 (s, ч) + ф (Ч). (12)
Наконец, упомянем интегральную формулу
— --
J ехр [- \ ф (j) + (а, $)] Л* = (2ге) 2 ехр , (13)
где интегрирование ведется по всему пространству, dx означает dxt ... dxa на — постоянный вектор. Эта формула может быть доказана путем применения формулы (II) и преобразонания квадратичной формы ф ($ + С-1 а) в сумму квадратов.
Введенные здесь обозначения будут использованы на всем протяжении этого и последующих пунктов.
Многочлены Эрмита от многих переменных являются бнортогональной системой многочленов, связанной с весовой функцией
і
w (S) = Д 2 (2я)~ 2 ехр[-*|1], (14)
причем областью определения является все л-мерное пространство. Из равенства (13) вытекает соотношение
j w (S)dx=l. (IS)
Эти многочлены являются, очевидно, л-мерным обобщением ортогональных многочленов, определенных равенством 10.13(1). Они были введены Эрми-том (Hermite, 1864) и изучены далее многими авторами. Аппель и Кампе де Ферье (Appell, Катрё de Feriet1 1926, ч. III) дают детальное изложение этой теории вплоть до 1926 года и библиографию. Дополнительные ссылки указаны в библиографии, см. работы: Caccioppoh, Erdelyi, Feldheim, Grad, Koechmieder, Mazza, Рісопе, Thijssen и Tortrat. Обобщение на бесконечномерное пространство дали Cameron и Mertin (1947) в Friedrichs (1991, с*., S частости, стр. 212 и &вед,). В.Я 12.9. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА 271
Определим две системы многочленов
0B1(S)-tt0H,,.....т(*1 .•••••*»> ]
