Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
7.9. Нули функций Бесселя
Этот вопрос детально изложен в гл. XV книги Ватсона. Некоторые дальнейшие результаты были получены после опубликования книги Ватсона в 1922 году, но не помещены во второе издание. Здесь будут кратко изложены наиболее важные результаты.
Общие результаты. Из общих теорем о дифференциальных уравнениях (Айне, 1941, гл X) вытекают следующие утверждения:
а) Любой нуль решений уравнений 7.2(1) или 7 2(11) явлнется простым. Единственным исключением может быть точка * = 0
б) Вещественные нули двух вещественных линейно независимых решений уравнения 7 2(1) перемежаются друг с другом. Здесь вещественное решение определяется как a Jv (х) 6rv (х), где а, Ъ и v вещественны, а .* —положительное вещественное число.
Функции Бесселя первого рода. Для функций J4 (г) могут быть доказаны следующие теоремы.
Нулн функций Jv (г) и Jv (г) при вещественных значениях v расположены симметрично относительно осей координат.
При вещественном v функция J4 (г) имеет бесконечно много вещественных нулей (Ватсон, 1949, стр. 526, Wilson, 1939).
Если Yv. і. Vv, 2. ...—положительные нулн функции Jv(x), упорядоченные по возрастанию значений, то
О < Yv, і < Yv-n, і < Yy * ^ Yv+Ы < ( S .,и 1
(Ватсон, im стр. 528). 7.9) 7.9. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЯРССЕЛЯ 71
Если V > — 1 н А, В, С, D — такие вещественные числа, что AD- ВС 0. то положительные иулн функций A Jv (х) + Bx Jv (jc) и С Jv (х) + Dx Jv (х) перемежаются друг с другом, и ни одна иа функций такого вида ие имеет кратного нуля, отличного от х = 0 (Ватсо і 1919 стр. 529).
Если А и В вещественны и v > —11 то функция AJv(X)+Bzj'v(z)
А ,
имеет лишь вещественные нули, за исключением случая -д- v < 0, когда
она имеет два чнсто мнимых нуля (Ватсон, 1949, стр. 53). Относительно асимптотической формулы дія этих положительных нулей см. Moore (1920).
При V > 1 функция J_v (z) имеет бесконечно мною вещественных нулей и 2 [v] попарно сопряженных комплексных нуле! Если |v]—нечетное целое число, го среди комплексных нулей есть два чисто мнимых (теорема Гур-внца) (Относительно различных доказательств см Ватсон, 1949, стр 532; Obreschkoff 1929; Polya, 1929, Falkenberg, 1932, Mille S/cgo, 1943.)
Обобщение теоремы Гурвица, іаниое Хилбом (Hilb, 1922), утверждает, что если [v] четно, главная ветвь функции
A Jv (z) + BJ_v\z) (Л. В — вещественные. В Ф 0, v > 0)
ч
имеет [v] комплексных нулей с положительной вещественной частью; если же [v] нечетно, то существует |v| — 1 либо [v] -}-1 комплексных нулей с положительной вещественной частью, в зависимости от того, имеем ли мы
> 0 или — < 0.
Число нулей функций z~y Jv(z), лежащих между мнимой осью и прямой
Re z = іял Re V + j л,
при достаточно больших значениях т равно т. и все нули функции Jv (г) лежат в полосе | Im z | < /Iv, где Av ограничено, если v ограничено.
Пусть vv. Vv и Vv являются наименьшими положительными иулямн функций Jv(x), J'v(x) н j"v(л) соответственно. Тогда мы имеем (Ватсон, 194? стр. 535)
Vv (V + 2) < Yv < /2(v + l)(v+3), /v(v + 2) <Y;<K2v(v+l).
где V > 0, и
^v(V-I) <YC<K-SjrzrT.
где v> 1. Относительно лучших оценок и результатов, касающихся следующих нулей см. Mayr (1935). Формула
Yv - v + 1855 757v3 + 103315v~ 8 + 0(v"')
и аналогичные формулы для іругих нулей функций Бесселя первого я второю рода были иолучеиы Trlcomi (1948). Относительно дальнейшей 72 ГЛ. 7. ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.«
информации о нулях функций Jv (х) н Jv(x) см. Bickley (1943); Bickley и Miiler (1945); Oatteschi (1950); Olver (1950).
Siegel (1929) доказал что если v — рациональное число и z — алгебраическое число, не равное нулю, то Jv (г) не является алгебраическим числом. Из этой теоремы вытекает предпололсение Бурже, что Jv (г) и Jy+m(z) (от = 1. 2, 3, ...) не имеют общих нулей, за исключением точки Z = O (Ватсон 1949, стр. 533).
Coulomb (1936) исследовал нули \п для Jv (г), рассматриваемой как функция от V при фиксированном z. Он показал, что если z— положительное вещественное число, то V,, вещественны, просты и асимптотически блнзкн к отрицательным целым числам (см. также Грей н Метьюз, 1953, стр. 114).
График функции Jv(x) при фиксированном V > — I н переменном х>0 напоминает график затухающего колебания. Пло цади полуволн, лежащих выше и ниже оси, образуют убывающую последовательность (Cooke, 1937).
Теорема разложения для целых функций (Маркушевич А. И., 1950, стр. 520) приводит к представлению z~~vJv(z) в виде бесконечного произведения (Ватсон, 1949, стр. 548). Пусть v — фиксированное число, v Ф —1, —2, —3, ... Рассмотрим нули функции z~v Jv(z), лежащие в полуплоскости Re z > 0 (онн симметричны относительно вещественной оси), упорядочим их так, чтобы вещественные части образовывали неубывающую последовательность (если существуют нули, лежащие на мнимой оси то мы берем только нули с положительной мнимой частью). Обозначим эту последовательность через Vv. л (п~ 1> 2. 3. ...). Тогда мы имеем
ГС+.» (•¦-¦?)• m
Аналогичное разложение для ]'у (г) имеет вид (Buchholz, 1947)
