Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
w-vtfv (w)_ ^ г (v) (left) vx
OO 1 I .
С v-T+tx
-~L—-K . (а) Г ! (6) Cv1 (— cosф) dx, (45) J Ch (ЛЯС) v lx V_i+tr
-« еНях) 4+<*
w — у а2 + Ьг — 2ab cos ф ТЛІ 7.8. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССРЛЯ И ЛЕЖАНДРА 67
(относительно определения Cv , см. п. 3.15\ Для доказательства фор-
-T+" I
мулы (45) надо использовать 7.6 (3) и теорему о вычетах. Другие формулы имеют вид
UO
J KlAa) dx =^e-aziiI (46)
OO
J Kix (a) ch ("I •*) cos (ХУ) dX=^J cos (a sh у), (47)
о
OO
J Kix (л) sh (J xj sin (ху) dx = j sin (a sh у). (48)
о
Оин могут быть соответственно выведены из формул 7.12(21), 7.12(25) и 7.12(26). Относительно других результатов см. Kamanujan (1920, 1927, стр 200, 224, 229); Fox (1929); MacRobert (1931, 1937), Crum (1940).
7.8. Соотношения между функциями Бесселя и Лежандра
Функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя могут быть выражены как предельные случаи функций Лежандра Заменим в выражениях 3.2(14) и 3.4(6) для функций Лежандра г иа ch—, а х — на cos —
v v
соответственно. Мы получим
pVli [cos (v)] Г (U +1) - tgt^ (-^r) [-V. 1+v; l+n; In« (?)].
Вели теперь устремить v к бесконечности и использовать 7.2 (12) и 72 (3), то получим
f?f
Amoc/ Ich (т)]=ТШ +-f)(1)
(?Г
д^^НЯЬт^^+1= -IlJ-^W- (2)
Аналогичное соотношение (см. Poole, 1934) может быть выведено из* 3.2(41)- Оио имеет вид
Ilm -„ . .-=»
Ц->оо Г ((X)
Vniei^W+1 / _8. _ IVJt/2 ГяГ
r(v+aj \ + Z' 4/ ~ У TV}^ «
з* 08 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ /7.Ш
Соотношения, аналогичные (1) и (2), могут быть получены для функций Лежанара второго рода либо с помощью (1) я 3.3 (4), либо 2 и 3.4 (13). Эти соотношения имеют вид
[л (?)]-*,(*
-г. С*
(4)
Перейдем теперь к некоторым интегральным соотношениям между функциями Бесселя и Лежандра Сравнивая гипергеометрический ряд в правой части равенства 7.7(26) с формулой 3.2(16), получаем
r(-v-n)r(v-n + l)P$ (г)-
и 00 1
- IZr- (** -D tJ »-"к l W ^li"7 Л (5)
0' V+2
(6)
Re г > — 1, Re(v—n+l)>0, Re(v-f|i) <0. Аналогично из 7.7 (16) и 3.2 (41) вытекает
__ <? і
Qt (*) = у j - D2 *,|1Я J е-Ч , (/) Г1 dt,
о v+7 Re (v + p) > — 1, Re 2 > 1.
Применяя формулу Уиппла 3.3(13) н 3 3(14) к (5) и (6) соответственно, получаем следующие четыре интегральных представления:
Г(у-р+1) 05(2) =
Re (v ± р) > — 1,
— T
Г(-v-p)/>$(*)- <*»- D2 J ехр (уУP(8)
Re(v+p)<0,
оа
Re (v + р) > — I,
оа
г (V + P -f 1) P"1* (cos Є) = J "=0' % (t Sln в) tv dt, (10)
о
Jfc (v + p) >-1. 0<e<J. 7.8. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ Й ЛЕЖАНЯРА 69
Равенство (9) вытекает из (8) с помощью 3.3 (1), а (10) следует из (9) с помощью 34(1).
Простым примером представления функции Бесселя первого рода с помощью интеграла, содержащего функции Лежандра, является обобщение Гегенбауэра интеграла Пуассона
n!r(2v) *"v Jy+n (*) -
it
. J еігcosipCJ(COS4))(slnq.)2v^, Re V> — -g-, и = 0. 1, % ... <11>
о
Оно может быть выведено из формулы Сонина 7 10 (5). Заменим Y иа cos ф, умножим обе части равенства на CJJ (cos q>) (sin tp)2v, почленно проинтегрируем по ф и используем 3.15(17). Аналогичная формула
YЩ- Iа (Sin ф)*~1 Cl (cos Ф) yv+„ (Z) -
/« V+-
еіг cos 9 cos фу ^ ^ sin g sin ф) Cv (c08 6) (sin 6)V+ 2 {12)
Re V > — -g-, Iargzl <я, ич-О, 1, 2,...,
может быть выведена из теоремы сложения 7.15(17). Относительно дальнейших формул такого типа см. Meijer (1934, 1938); MacRobert (1936, 1940); Bailev (1935а)
В заключение упомянем о контурном интеграле Уиттекера, который связан с интегралом Ганкеля 7.3 (8). Он имеет вид
_ (-1+,1+)
VrtJy(Z) = Yf exP Н* + Т) Т] J ^0v-1 (t)dt' т
да*'® 7
Для доказательства »той формулы предположим, что хоитур целиком лежит вне окружности 111 =» 1; тогда мы можем разложить в формуле 3.2 (5) Q j (г) по убывающим степеням t и действонать далее так же, как в п. 7.3. V"2
Из формулы (13) получаем соответствующее выражение для второй функции Ганкеля:
__ (-1+. 1+) Vrt Hf (z) cos (ш) = YJ exp [(v + J , (0 dt, (14)
00«-16 1 _J + e<argz<-J+5, |6|<J. Здесь при выводе используются 7Л (6) и 3-3 (8). 70 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ /7.Ш
Разложение ф)нчции Лежандра Pv(CosO) в ряд по функциям ,Бесселя
_ OO _
Pv (cos в) = у 2 в|» (е) (v+ Tp [(v + т)o] (15)
т-0
было даио Szego (1933) Коэффициенты ат (9) являются элементарными функциями, регулярными в полосе О < Re 0 < л в частности, а0 = 1, a, = 2"3(ctg 0 — 0-1) и т. д. Ряд (15) равномерно сходится в полосе 0< 0< <0„ — е, где е>0 и
0, = 2 Cf 2 - 1) я ~ (0.828 ...) я Эта формула может быть выведена следующим образом. Полагая в 7.10 (15) 5=1, г=*е, т» ^ 1 — -p-Hv= — j, получаем
^m пї-ЯІ -(B + JL
? J i(0);
/в=0 т~2
следовательно,
2(cost — cos6) = ~\f \ l(0).
m = l m 2
Если подставить это разложение в интеграл Мелера 37(27), почленно проинтегрировать и использовать равенство 7 3(3), получим формулу (15).
В упомянутой работе Szego аналогичные разложения даны для Pv(Cht)1 Qv (cos 0) и Qv (ch ?), см. стр. 450 449 и 448 соответственно.
