Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
2 V L
„ „ . ml «+f V_L m~n+2 J я
1-«lg—«+1)1--(8)
Wl1
Я-0
Относительно других таких формул см. Cooke (1930). 7.7.3) T.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ffl
7.7. Интегральные формулы
7.7.1. Неопределенные интегралы. Из формул 12 (52) н 72 (53) соответственно мы имеем
J Jv (z) dz » 'yv+1 (аг), (1)
J z-"+1 JV (г) dz -(г). (2)
Из 72 (57) получаем
от-1
j* Zv (*) de - 2 2 /v+їв+і (*) + j* /v+гт (г) Лг, ліві, 2, З,... (3)
л=о
Равенства 72 (4) — 72 (6) показывают, что формулы (1) — (3) сохраняют силу для Kv (г) и Hf (г), Hf (z). Относительно других подобных формул см. 7.14 (1)-714 (13).
7.7.2. Определенные интегралы по конечным отрезкам. Многие определенные интегралы, содержащие функции Бесселя, являются формулами типа свертки
/»,0(0-f P(v)Q(t — v)dv о
и метут быть выведены из теоремы о свертке для преобразоза-шя Лапласа (Doetsch, 1937, стр. 161; Widder, 1941. стр. 84). Эта теорема утверждав F,
что если
со
/(s)- J *-*'F(1)dtaL{P) о
и g(s)~HQ), то
/ (s) g(fi)**L{F* О}.
Эта формула справедлива, например, если L {/7} и L (Gf) абсолютно сходятся.
В качестве примера получим этим способом второй интеграл Сонииа Полагая
^li (о, t) Jvi(а /7),
получаем из формулы (24) при Re ц > — 1
/ц(а, s)-MZylI (а. 0} -г-^-^-'ехр (-^a2S-1).
Но
Zfl(о, s)/v(?, s) = 2/д+у+,(Va^+F. s), 56 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
откуда и вытекает интеграл Соиина t
f V> (<- хГ J11UVT) Jv(? Vt^) dX.
-2a^v V(o» + pi)-«»+»+«/V+Il+1 (t /^+?3).
Rev>— 1, Re|i > —1.
Полагая t 1 и подставляя x -« (sin в)2, получаем
2
j* Уц (a sin в) Jv (? cos в) (sin в)11+1 (cos 0)v+1 db — 0
- aT VV + ?»)-«+^7v+,x+. (Vr?+?), (4) Re V > —1, Re ц > —1.
Следует особо отметить предельный случай формулы (4). Если разделить обе части равенства (4) на ?v и устремить ? к нулю, получим первый интеграл Соннна
я T
J* Jfl (a sin Є) (sin 0)11 (cos 0)2p+1 rf0 -0
¦» ^r (p + 1)a~p-J^р+щ.1 (a>, Rep >-1, Ren >-1. (? Другими формулами типа свертки являются
t
J COtf-Ov JvV-X) dx~
і ^+TW^TK*'"7 1 1
-=7=---тН-ГІ-J ,(0. Re^>—і-. Rev>—і (6)
у2п Г (v + ix +1) v+щ— 2 2
(см. Hardy, 1921, стр. 169) и t _
Г Jiv (a Vx) cos (? VT=т) Jt ^ 0J У x(t — x) ™
- я +?))^^(/^1^-P)]. Rev>-I. (7)
Последняя формула может быть записана в вше
Ji
2
J Jty U VrZZ Sin 0) COS 1(2 — ?) С08 OJ de ШШ J Jv (*) Jv ?), Re V > - -J-. (8) 7.7.3) T.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ffl
Формулы (6) и (7) вытекают из теоремы о свертке, примененной к соотношениям (17) и (23), (25) соответственно.
Интегральная формула для функции Струве, соответствующая первому интегралу Сонина (5), имеет вид л
T
/
H11 (* sin 0) (sin QT+1 (cos 0)2р+1 dB -
-Г(р-Ь1)2Р«-р-1Нр+11+1(г), Rep > —1, Re ц > — -j. (9)
Она может быть установлена следующим образом. Разложим под знаком интеграла функцию Струве по формуле 7.5 (55) и почленно проинтегрируем получившееся разложение, используя 1.5 (19).
Во многих случаях для вычисления интегралов, содержащих функции Бесселя, могут быть использованы формулы 7.2(47) — 7.2(49), выражающие произведения двух функций Бесселя в виде степенного ряда. Например, мы имеем из 7.2(2) и 1.5(19)
2
/
Jw (2* sin в) (sin в)у (cos 6)2v de:
1 ^ (-0и*У+гиг(у + >я+у)г(у + -1)
"2 2d /и!Г(у + /и +1)Г(2у + да4-1)
m=0
В силу 7.2(49) «то приводит к соотношению Jw (2г sin в) (sin 0)v (cos OJ2v dd —
1
= + Rev>-1. (10)
Аналогично доказывается формула Неймана
я
2
J /v+ц (2z COS 0) cos [(H-V)Q] dB-~ Jv (*) Jfi (г), Re (v + ц) >—1. (11)
о
В этом доказательстве используются формулы 7.2(2), IJJ (19) и 72 (49). Обобщение формулы Неймана
п (2аг)~^ (2&z)~v Ji, (аг) Jw (?*) -.
я T
- J *«<n-v> (cos В)*+» 7v+|l (JU) dB, (12)
~ 2 _
Re(v+n) > -1, X- У 2cose(ttVo-H2e-<s), 58 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
может быть доказано следующим образом. Разлагая функцию Бесселя под знаком интеграла по формуле 7.2 (2). получим
UO
(_1Ч»П о—Я|_2/П
я(о*)"*(P2)-VJ11 (а*)JvOU)- \ + » + ц + X
тшО
я_
3
X J ею Ot-V) (cos 0)m+v+^ (аУ04- tfe-ю)т ri9.
2
Интегралы, входящие в ату сумму, можно выразить через гипергеометрическую функцию (cP- также 2.4 (11)), и в силу 7.2(47) справедливость соотношения (12) доказана. Относительно аналогичных представлений см. 7.14 (60).
Другой класс интегральных формул может быть получен из теорем сложения в п. 7.6 н 7.15. Из 7.15(31) мы имеем я
«1<M»)J* — J*/оSlnф)cosгіф, л —0, 1, 2,.... (13)
о
или, более общо, из формул 7.15 (28), 7.15 (29) и 3.15 (17) имеем я
»-VZV (w) Cvm (cos ф) (sln<p)2v гіф
о
_ 2я Г (т -f 2v) ~ mi Г (V)(2гу)
9
J
v Zv+m(y)Jy+m(z), (14)
1
ю = +уг—2гу созф, Re v > — j, /и = 0, 1, 2,...
Здесь через Zv обозначена функция Бесселя любого вида, то есть первого, второго илн третьего рода. Относительно других формул того же гнпа см. формулы 7.14 (14)-7.14 (23) н Ватсон (1949, стр. 412); Copson (1932); Rutgers (1941); В. N. Bose (1948); MacRobert (1947, стр. 383).
