Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
7.7.3. Интегралы с бесионечными пределами, содержащие показательную функцию. Формула
се
2v+na-n?-y.+1i+vr (у +1) J J11 (at) Jv (PO 1 dt «
о
т =0
Re (Л -j-1» -f- v) > 0, Re (у±іа± /?) > ft
может быть доказана путем замены произведения функций Бесселя его разложением в степенной ряд 7.2 (47), почленного интегрирования и использования формулы 1.1 (5). В некоторых частных случаях правая сто- 7.7.3) T.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ffl
рона равенства (15) сводится к более простым выражениям. Если, например, положить X 4- v=»p и устремить ? к нулю, то получится интеграл Ганкеля
(-?-)" VpF Oi+l) J ."Vytl (at) ip-Ut -
й+р
-r(,+p)(l + f)" 1 л^іі^рі^ + ,,^). (16)
Re(p + |i)>a Re(Y±/«)>a
Второе выражение в формуле (16) выведено из первого путем использования формулы преобразования 2.10 (6) для гипергеометричеекой функции. Полагая во втором из выражений (16) р = (л +-1, получаем
CS
I
1
е
I
(at) ^ <" - у=- (2а)ц (Y2 +«') 2 (17)
Re(2n+1)>0, Re (y ± /о) > 0. Если положить в (16) р=1 и использовать формулу 2.8(4), то получим
е-у%(«О(У*+ gZ^ . Ren>—1, Re(Y±ta)>U (18) oVy+ «
Далее, полагая во втором из выражений (16) 𠦦 1 и используя 2.1 (14), получаем
(19)
f Z11 (Orf)P-Ut =--±J—Lt -Ren< Rep <|, «>а
J аРг( 1 + 2
Таким же прем можно вывести много интегральных формул, в которых показательная функция зависит от квадрата переменной интегрирования. Например, соотношение
со
gv+ii+ід—Mp-VyV+11+Xp (v + 1) J J11 (at) J4 (PO dt —
"S оті Г (от + |л + 1) a^1 ( ^ m'' »+и 5-)(-?"' 0°)
m =0
Re(|i + v + X)>0t R«y*>%
может быть выведено путем использования выражения 72 (47) и почленного интегрирования. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, в которых формула (20) сводится к более простым выражениям. 60 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
Пусть р"= а, тогда, используя 2.1 (14), получаем
OO
J h (Orf) yV (fit) dt ш.
„ Q-V-U-I1J-V-*.-it-v-m V 2 / ХЛ(-2±|±1, 2±|±». Vi^tі. Й+ІІ v + 1> +
(21)
Re(v + X + |i)>0, ReYa >0.
Пусть в (20) ? стремится к нулю. Тогда выражение в правой части равенства (20) сводится к вырожденной гнпергеометрнческой функции, и, полагая V Ц-^ = Р. получаем
СО
Г((1 + 1) J Jil (at) e-^'t"-1 dt =-
(4і) л (^t+ ?)•
Rev^O, Re(|i+p)>U (22)
Далее, имеем
J = (^). (23)
о T
Re у* > 0, Re (і > — 1,
J Z14 (pt) ^V+1 dt = exp (- . (24)
Re (Л > — 1, Re у' > О,
зїгехр С»)
Re V > — 1, Re у* > 0. Формулы (23) и (24) следуют из (22), а (25) — и» (20). !¦ЗА 1.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 61
Для того чтобы доказать аналогичное формуле (16) равенство
- (20)-^-2^ (а + ?)2v+2>* Г (р + V) Г (и — V) X X^i (v + P. Vi 2v+2p; ! — Re(p±v)>0, Re(a + ?)>0, (26)
заменим в нем Kv (W) выражением 7.3 (15), изменим порядок интегрирования и используем 2.12 (5). Из формул (26) и 2.8 (47) получаем, полагая a = O1
со
j* ACv (?Q dt - 2>-2?->r Г (-^), (27)
Re (p ± v) > 0, Re ? > 0. • Далее, из формул (23) и 7.2 (13) имеем
— 1 < Rep < 1.
Относительно дальнейших формул см Shabde (1935); Moban (1942, стр. 171) Sinba (1942).
7.7.4. Разрывный интеграл Вебера—Шафхейтлнна. Перейдем к изу-
OO
ченню интеграла j Z11 (at) Jv (M) t~p dt, где в и ft — положительные веще-
0
ственные числа. Оказывается, что хотя этот интеграл сходится для всех положительных значений а и 6, аналитическое выражение его различно в зависимости от того, будет ли а меньше, равно или больше Ь. Именно мы имеем
OO
20^-е+1 Г (Ц +1) Г ^-H+P-Ej J Zf4 {at) yv {bt) t-Pdt =.
Re (v +1» —Я -J-1) > 0, Rep >—1, 0<e<fc, €2 ГЛ. 1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛ». ТЕОРИЯ |Т.7.4
аналогичное выражение имеет место при 0 < b < а (при втом в формуле (29) надо переставить а и Ь). Далее имеем
со
I
J^at) Jv(at)r*dt-
р-1
Re(v-fn + l) > Rep >0, а > 0.
Эти результаты доказываются следующим образом: подставим в подынтегральную функцию (29) выражение (12), сделав в нем подстановку а = а, P = b, z = t, изменим порядок интегрирования и вычислим интеграл по t с помощью формулы (19). Мы получим
® г + —Р+1\
J * м а («> ^ * г|»+у+р+і|х
я
T
X J в№ (COS 9) (V+U+P-1V2 (Д» + ft2#-18)(p-V-|i-lV2 d9%
я •T
Но интеграл и правой части равенства можно выразить через гипергеоме-трическую функцию гFi (см. 2.4 (11)). Соответственно тому, имеем ли мы b > а или b = а, непосредственно получаем выражения (29) или (30). В некоторых частных случаях гипергеометрическая функция сводится к более простым функциям. Например, формулы 7.14 (28) — 7.14 (31) выводятся из
(29) и (30), если положить P = V = -J.
Через гипергеометрическую функцию может быть выражеи и интеграл« аналогичный интегралу Вебера — Шафхейтлииа, в котором одна из функций Бесселя заменена модифицированной функцией Бесселя третьего рода. Однако этот интеграл не имеет разрыва при а = Ь. Мы получаем
OO
2Р+1 ev-p+1 г (v +1) J ACli(Orf) Jv (Itf) ГP dt =-
- pvr^-p+"+1) г (v-p7"+1) X
Re(a±/?)>0, Re(v — p +1 ± ц) >0.
Эта формула доказывается путем разложения Jv (?l) в степенной ряд по формуле 7.2 (2) и почленного интегрирования с использованием формулы (27). 7.14.11 7.14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 63
