Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
где г/1, г/г = J/1 / y~2dx —линейно независимые решения уравнения (13) (для сравнения см. гл. 2, табл. 6).
Предложение 2. Приводимое уравнение (1.1) допускает факторизации в эйлеровых расширениях основного дифференциального поля E = F (и) = = F(yl7y2) :
і
Ly=\\[D+n + l-2%-(b1+rk)u + a1]y =
k=n
п + 1 - 2k ҐпУі ol\ ,
ПК"'- 2
2 V Уі Уі(аіу2 +/Зіг/1) Уі(а2у2 + ?2yi)
h+rkf а, + —^2- ,U = о,
к=п
Vo ^Уі(аіу2 +/Зі 2/1) 2/1 (^2 2/2 +/32 2/1)
где rfc — корни уравнения (А), и интегрируется как в терминах (12), так и е терминах (13).
Пример 1. (Halphen [321]). Уравнение Альфана (обобщение уравнения Лиувилля)
2/(п) -&„(Ar2 + 73^ + (7)-"у = 0 (14)
порождается задачей приведения простейшего уравнения у*™) = 0 в уравнение с постоянными коэффициентами (1) преобразованием КЛ. При этом v(x) и и(х) удовлетворяют соответственно уравнениям
- bnunv = 0 (15)
и (12) (при A2 = 0), т.е.
1 и" 3 / и' \ . 3 о „,2
2
B2U2 = 0. (16)
2« А\и J ' п+1 Подставляя решения (16) в (15), придем к уравнению (14).
192 Глава З
Tl
а к у
к=0
можно представить в виде
^ = EM I b(n~fe) = ° а)
п П г.
^скук = v^2ckexp(rkU), U= udx,
У =
к=1 к=1
где у к — линейно независимые частные решения (1), г к — простые корни характеристического уравнения (8.4); и в виде
Zt=Is=I [S k=l
если Гк — кратные корни (8.4).
• Доказательство можно получить непосредственно, используя факторизацию приводимого уравнения; оно также имеется в работе автора [21]. •
Предложение 2. Общее решение неоднородного ЛОДУ п-го порядка
Ly = f{x), (4)
левая часть которого является приводимой, (в случае простых характеристических корней Гк уравнения (8.4)) дается в виде
У{х) = ^скук + У*,
к=1
где частное решение у* может быть представлено формулой
п I п \ г
у* = ? Ук{х)/ Ц(гк -ra) \ / yk1u1-nf(x)dx,
к=1 \ 8фк j J
9. Решения приводимых уравнений и присоединенных нелинейных уравнений
9.1. Важные системы нелинейных уравнений
Предложение 1. Общее решение приводимого уравнения
Решения приводимых уравнений .
193
или формулой
————--—— / ехр(—rkU)v 1U1 nf(x)dx, U=I u(x)dx.
k=1 U(rk-ra)
s^k
Случай неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами рассмотрен в работе (Маслов [176]).
Предложение 3. Уравнение (4) преобразованием (1.4) приводится к
jz(l) bkz(n-k\t) = v-\x(t))u-n{x(t))f(x{t)).
k=0 ^ '
Рассмотрим теперь важные системы нелинейных уравнений, порожденных приводимыми линейными уравнениями.
Теорема 1. Если уравнение (1) является приводимым, то система присоединенных нелинейных уравнений относительно и(х) :
1 / _ з /V
2 и 4 ^ и
,13
3 D 2 3 Л
В2и = ——A2,
71+1
71+1
и"' _ г-и'и" г-гґ
и .,2 + из 1 п +1"" и 1 п+ і
12 _А2и'
Вяи3
и
71 + 1
(51) (52)
TtW 10и"'и' 5(п + 23)и"2 | 5(п + 59) 5(n + 59) ц,4
5(n + и) и'2 t ю(п + 5) ц» _^q_ т/ 10
2 3(71+1) М 71 + 1 3« + 3(71+1)
П + 1 И2
10
3(71+1)
A4, um. д.
(53
п-1 (и)' 2
к=2
Eu
(п-к) ^
-Б„м 2 =0. (5™-1)
где Ак, к = 2,... ,п суть семиинварианты уравнения (1), Вк = const суть семиинварианты (8.1), a Yi, Y2 = Yi fY1~2dx — ФСР уравнения
Y"
п + 1
a2y = 0,
(6)
194
Глава З
является совместной и одновременно допускает решения вида
U1[X) = (Os1Y2 + P1Y1)-1 (a2Y2 + P2Y1)-17
S1 = (Oi1P2 - Oi2P1)2 =--?—¦S2, B2 < О, S1 > О;
и2(х) = (AY2 + BY2Y1 + CF12)-1,
<52 ее В2 - AAC =--=-гВ2 < О, B2 > О, S2 < О;
гг + 1
и3(х) = (aY2 + PY1)-2, B2 = О, S3 = О. Отметим также важные частные случаи решений:
и4(х) = Y1-1(aY2+pY1)-\ S4 = a2 = --^_jB2, B2 < О, S4 > О;
и5(х) = Y12, B2 =0, S5= О.
• Следует из леммы 6.1 при замене t' = и, представления решений уравнения КШ-2 (51) с помощью табл. 6, гл. 2, а также совместности системы (5). •
Теорема 2. Если уравнение (1) является приводимым, то система присоединенных нелинейных уравнений относительно v(x) :
,71 — 1 . „гг — 1
71-1 V
З^^А2г; - 3^?«""1 = 0, (71)
71+1 71+1 4 '
,„ 0п-3у'у" , 0(п-2)(п-3)^з 12 „
V -3-7—TT" +2---—----\--—A2V +
п-1 v (п-1)2 у2 п + 1
2(П — 1) , 71 — 1 7 , о
+ , , ^ - 2^-4?«"-1 = 0, 72
71+1 71+1 v
п-Ау'у"' _ 22 п - 4 г/'2 2 (49тг - 125)(тг - 4) ^1/'
Tl - 1 W 9 n _ 1 TJ +9 (п-1)2 у2
(4971 - 125)(п - 2)(гг - A) v'4 10(71 - 4)(гг + 7) v<2
9(Ti-I)3 17~ 3(п-1)(т1 + 1) 2~ +
п—9
+ Ш-±^А2у" + -M-A3V1 - 1??^ + \^А4у = 0, (73) 3 гг + 1 п + 1 3 гг + 1 3 гг + 1
и т. д.,
9. Решения приводимых уравнений ... 195
-52 V-S2Y1
v3(x) = F(GY2+PY1)™-1 ехр I Т;
2а(аУ2+/8Уі) J
где Sk имеют те же выражения, что и в теореме 1, a F = ехр(— f а^х). Кроме того, укажем следующие частные случаи:
n-l±(n-l)bi n-l (n-l)bi
W4Or)=FY12 а (GY2+PY1) 2 Т <* ;
W5(X) = FF1""1 ехр(±бД).
