Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
213
• Подставив (8) и (9) в (7), получим формулы (10). Уравнения (10') строятся по известным фундаментальным системам решений. •
Замечание 1. Законы изменения f(x) при вещественном Ъ\ не могут быть ни периодическими, ни колеблющимися функциями от X (это следует из формул (10)).
Следствие 1. При bo = 0, 5 = Ь\, получим
Z1(X) = {(x1x + ?i)-{n+1)(a2x + ?2)-2
или
h{x) = (alX + ?1y'2(a2x + ?2)-{n+l).
Законы изменения f(x), допускающие автономизацию уравнения (1), можно найти и другим путем без предварительного определения функций преобразования и, v. Выразим / через и:
f(x) = Cw(n+3)/2 ехр ^ьЦ-^ J udxj .
Логарифмируя, а затем дифференцируя полученное выражение, придем к уравнению Бернулли относительно и:
2 /' 2
и ± ——biu .
п + 3 / п Решением уравнения (11) является
/2/(«+3)
и(х)
k±bl(n-l) rf2/(n+3)dx
(11)
(12)
где к — постоянная интегрирования (функция и определена с точностью до произвольного числового множителя). Подставив (12) в (5), получим
Г-^|у+ &о(п + 3)/("+7)/("+3)=0, пф-3, 6i = 0, (13)
либо
Ъ0(п + 3)т
2(п + 1),2
Ь\ /(™+7)/(™+з)
п + 3 /
O1 пф -3, Ьх ф 0;
(141)
214
Глава 4
либо
/" - JHpI f~j=°'bo{n+3)2 т 2(n+1)62=°> (142
где пф-3, пф -1, &1 ф О, 60 0.
Если n = —3, 6i 0, формула (7) примет вид
fx) = си W = exp(±2&i / udx). (71
1 Ґ
Из (71) следует и = Tt^t--T, и уравнение (5) дает 2oi /
-1^ + 1^(14f)=0' ^0- (15)
Наконец, если п = —3, &i = 0, то f(x) = с. Итак, пришли к теореме:
Теорема 2. I) Для приведения (1) (яри п ф —3) к автономному виду (2) преобразованием (3), необходимо, чтобы коэффициент f(x) удовлетворял либо ОДУ(13), либо интегродифференциальномууравнению (141), а также его вырожденному случаю (142).
2) і? случае п = —3 для автономизации (1) необходимо, чтобы коэффициент f(x) удовлетворял (15). Лри этом уравнения (13)-(15) допускают семейства решений (10).
Заметим, что уравнения (13)-(15) содержат по крайней мере один из параметров Ъ\,Ъо (или S). Таким образом, указанные уравнения несут информацию о существовании автономизации уравнения (1).
Исключив параметры Ь\ и bo, придем к ОДУ 3-го и 4-го порядков относительно f(x). Для полноты картины включим также уравнения 2-го порядка, соответствующие специальным случаям значений параметров Ъ\ и bo (в частности, они, а также O, могут принимать нулевые значения).
Теорема 3. Для приведения (1) к автономному виду (2) подстановкой (3), необходимо, чтобы коэффициент f(x) удовлетворял:
1) при п ф —3 — либо уравнению
3(гс + 5)/"/' , 2(п + 4)(п + 5)/'3
; -пг+іг— + (п + 3)2 7^ = 0' (16)
либо уравнению
n + Af'\,m 3-,,,2 , Ъп+ 21 ff"Г
U ~ n + 3 / Я ~ 2J 1 n + 3 /
2(п + 4)/зГ 3(^ + 5)///3 3п + 5/,2Г2
n + 3 /2 п + 3 / 2п + 3 /2
а в специальном случае — уравнению (142);
(17)
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена —Фаулера 215 2) при п = —3 — уравнению
?11 ?111 ?1 ?111 /•//3 ?112
Г -6-^ + 2-^ + 6^-3-^=0, (18)
если исключить частные случаи уравнения (15).
• Чтобы получить (16), нужно уравнение (13) переписать в виде
_»+7 і , ?12
/-п+3(/,/_^±4/_) = _6о(п + 3))
а затем продифференцировать. В случае общего положения, то есть когда п ф —7, —4, bo ф 0, после дифференцирования (13) придем к (141). Также легко получается и уравнение (18). Перепишем (15) в виде
/'"-1^ = ^?*-1)' 5 * °- (19)
Взяв логарифм от обеих частей (19), а затем продифференцировав полученное уравнение, придем к (18).
После рутинных выкладок выводится уравнение (17). •
Лемма 2. Уравнение (1) преобразованием
у = (ах + ?)z, dt = (ах + ?)~2dx (20)
приводится к виду
z + (p(t)zn=0, (21)
wo есоть остается при действии (20) инвариантным по форме. При этом
f(x) = cp(t)(ax + /3)-("+3). (22)
• Преобразование (20) приводит у" к выражению u2vz. В силу леммы 1 и формул (20) придем к (22) (здесь м = (ах + /З)-2, w = ах + /3). •
Лемма 3. Преобразованием
f(x) = (ax + ?)~(-n+3'>(p(t), dt = (ax+?)~2dx (23)
уравнение (14і) преобразуется в себя и допускает однопараметрическую группу с генератором
X = {ax + ?fjj- - (3 + n)a(ax + ?)f-^.
216
Глава 4
• Проверяется непосредственно. При этом
?(ж) = м-1(а;) = (ах + /З)2, г)(х) = «'W-1M"1/ = -а(3 + п)(аж + /3)/. •
Лемма 4. Уравнение (141) допускает группу G симметрии, описываемую следующими конечными уравнениями:
1 — єа(аж + /3)
ге)е є — параметр.
• Формулы (24) получаются в результате сходимости рядов
°° k vk °° pkYkf
X1 = ехр(єХх) = E ^И' Л = ехр(єХ/) = E 1^r2-
fc=0 ' k=0
Так как
Xa; = (ax + /З)2, X/ = -а(Ъ + п)(ах + /3)/,
то непосредственно придем к (24). •
Таким образом, все математические законы (10), (10'), найденные для КОУЭФ (1), имеют определенное физическое содержание.
Математические модели, допускающие автономизацию, обладают точечными симметриями.
2.3. Упрощение КОУЭФ
