Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
F
|, hxD-\)y, UxD-V)2V
а именно
F ее \(xD - 1)2у + \(xD - V)y + \\(xD - V)y\2 + | • \(xD - V)y = 0.
Заметим, что в [196] было указано два способа интегрирования (22) как с помощью дифференциальных инвариантов, так и путем приведения генератора группы к нормальному виду. В работе (Sherring, Prince [402]) к тому же примеру был применен метод векторных полей и дифференциальных форм.
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
Как известно, классическое уравнение Эмдена-Фаулера (ЭФ) имеет
вид
У" + %У' + ^m_1yn =°. п Ф 0, п ф 1, а, Ъ = const.
Под каноническим обобщенным уравнением Эмдена-Фаулера (КОУЭФ) будем понимать уравнение
у" + f(x)yn = 0. (1)
210
Глава 4
Такое название оправдано тем, что к нему сводится обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера (ОУЭФ)
у" + а!(х)у' + ао(х)У + f(x)yn = 0,
о чем пойдет речь в п. 4. Например, к (1) сводится уравнение
у" + Ct1(X)V1 + tp(x)yn =0
(коэффициент при у' легко устраняется заменой независимой переменной C = J ехР(— / U1(X)CIx)CIx] тогда ip(?(x)) = f(x) ехр(2 J U1CIx)).
2.1. Приведение к автономному виду КОУЭФ
Решим для (1) задачу нахождения всех законов изменения f(x), при которых (1) допускает точечную симметрию с генератором (1.6). Иными словами, для (1) нужно решить одну из обратных задач теории дифференциальных уравнений.
Но прежде всего рассмотрим автономизацию (1) с помощью преобразования KJI (1.3).
Лемма 1 (см. также Беркович, Нечаевский [69]). Для приведения (1) к автономному виду
z ± b\z + b0z + czn = 0, &i, bo, с = const, (¦) = cl/clt (2)
(&i может принимать как вещественные, так и чисто мнимые значения) преобразованием КЛ
y = v(x)z, dt = u(x)dx, v,u Є C2(I), vu^O, (3)
необходимо и достаточно2, чтобы (1) допускало однопараметрическую группу Ли с генератором
udx uv!Jdy У >
(см. (1.7)), где и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2
-5и2 = 0, 5 = Ь\ - АЪо, (5)
Iu" Ъ,и\2 Ь„2_п :-1,2
2 и и і 4
|м|-1/2ехр(±|&і / udx), (6)
f(x) = Си\г-п. (7)
2Для п = 2 это условие является лишь достаточным, т. к. наряду с (4) существует и другой генератор однопараметрической группы (см. п. 2.6).
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
211
• Уравнение (5) и формула (6) получены, исходя из преобразования линейной части у" уравнения (1) в линейную часть уравнения (2). Формула (7) вытекает из выражения
W2Cz + M + b0z) + f(x)vnzn
0. •
Напомним, что в силу известной теоремы Штеккеля-Ли (Stackel [404]; Lie, Engel [352]) преобразование КЛ является самым общим, сохраняющим порядок уравнения (1) и линейность его линейной части. Но это же преобразование, как нетрудно показать, является самым общим, которое сохраняет структуру нелинейной части.
Лемма 1 является конструктивной, т. к. функции преобразования и, v можно найти в явном виде из (5), (6).
Уравнение (5) имеет решения, которые находятся по теореме 2.5.1 (табл. 6):
Ui(х) = (а\х + ?\Y1(a2x + ?2)~1, = (a\?2 — a2?i)2 > 0,
U2(X) = (Ax2 + Bx + С)'1, O2 = B2-4AC<0,
и3(х) = (ах + ?)-2, 53 = 0, а ф 0, (8)
и4(х) = (ах + /З)-1, O4 = а2 > 0, иъ(х) = 1, 05 = 0, а = 0,
где 5к=Ь\- 4&о, к = 175.
Мы принимаем, что ФСР соответствующего линейного уравнения у" = = 0 имеет вид: у\ = 1, у2 = х.
В то же время, исходя из формулы (6) (а также согласно теореме 2.5.1 (табл. 5)), имеем:
U1(J;) = (alX + ?1)1^1±bl^(a2x + /?)1/^=?/^ 5l > 0;
v2(x) = \JAx2 + Bx + Cexp < ±-
S2
arcts
2Ax + B ^f-T2
O2 <0;
v3(x) = (ax + ?) exp
±-
, (? = 0, а ф 0,
2a(ax + ?)
v4(x) = (ax + /З)1/2 ± bi/(2a\ S4 = a2 > 0, щ(х) = exp(± Y/2b\x), O5 = 0, где Sk, к = 1,5, имеют те же значения, что и в формулах (8).
(9)
212
Глава 4
2.2. Законы изменения коэффициента f(x)
Теорема 1 1) Законы изменения f(x), при которых уравнение (Y) приводится к виду (2), имеют вид:
J1(X) = ((X1X + ?i)
З+га bi(l-n)
3+п bi(l-n)
-т-
2 2^ (a2x + ?2) 2 ' 2^ ,Si > О,
3+п
f2(x) = (Ax2 + Bx+ С) 2 ехр
± (1 'Л'1 arctK 2Ах + В
, S2 < О,
/з(х) = (ах + /3)-(и+3) ехр
±
(l-n)&i
2а(аж + /3) п+3 1—п
/4(ж) = (скс + ?)~~±bl^, 54 = а2> О,
(? = О, а ф О,
/5(ж) = Сехр(± -—-біж), ?5 = 0.
(10)
2) Законы изменения f(x) удовлетворяют соответственно следующим линейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка, являющимся модифицированными гипергеометрическими уравнениями
/" + (п + 4) (—9^T + ~^Ь") /'+ \аіж + pi агж + ?2 J
+3)(n+Y)(aix+?i)(a2x+?2)+(n+3)2a2-(l-n)2b
A(aix+?iY(a2x+?2Y
2Ae + B ,, f +{П + 4) Ax2+ Bx + C1 +
(n + 3)(n + 4)(2Аж + B)2 + (n + 3)(4AC* - B)2 -(1- n)2fr
1/=0, ,J1 >0;
аж + p
4(Ax2 + Bx + C)2 (n + 3)(n + Y)a2 (l-n)b\
-/ = 0, <S2<0;
(ax + ?)2 Цах + ?)
f = 0, <53 = 0, а ф 0; (10')
(ах + ?)2f" + (п + А)а(ах + ?)f' +
, (п + 3)2а2 - (1 -п)2Ъ
f
и (1 - n)bj
/ = О, O5 = 0, а = О,
-/ = 0, <54 =а2 > 0;
ге)е (?, k = 1,5, имеют те же значения, что и в формулах (8).
