Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
к=2
(Y0)
,(«)
А2у{
(1-2) , 3 (П\ А,(п-3)
V^+T)A2
2W^j/(n-3) + E(L>*y(n"fc) = 0'
("-4) _
180 Глава З
+ E VM)=0, (F2)
k=5 ^ '
k=6 и т.д.
Канонические формы Альфана имеют следующий вид:
у(п.......
,к
fe=2
і і її Sr і і Qi" 3(5тї + 7) г, _2
где /г20 = r\u=Uo = h0, h30 = -ft0 +1, ft-40 = ^h0 + ———--«-о ~ 6м0и0 +
^ о ь(п + 1)
+ In1IW(J4, И Т.Д.
та у
П
fe=2
Зі," а.. _ 9г- , 3(5n + 7) а , г _ _4
где /г2і = r|„=Ul = hi, h31 = -/?, hu = ^h1 + ——+ In^u1
та / ч fe=2 ^ -'
(H2)
і і її З/і Qi" 3(5n + 7), 9
где /і22 = r\u=u2 = h2, h32 = -h2, Zi42 = -h2 + ——+ 1, и т. д.
¦і о 5(n + l)
Теорема 4. Уравнения {1.2) и (1.3) принадлежат к одному классу тогда
и только тогда, когда выполняются соотношения (любые) :
I0(A) = U3I0(B), I0 ф0; (IIі)
InA(A) = u4InA(B), I0 = 0, In,! ф 0, (П2)
In,2(A) = U5InYB), Io = In,! = 0, 1п,2 ф 0; (И3)
6. Инварианты и канонические формы уравнений п-го порядка 181
к
^n,к
1
А, 9Л" 3 5n + 7 2 Ai 5 2 5 п+1 2
2
А, 5 , 15 „ 10 7п + 13
A5 - 2A2''-3 ^A2 2 п + 1 2
3
4с —44' 4-—4" = 4'"4-—4*4' —
лб Л/15 + з 4 3 14 2
7П + 8 ч (4^2A'' 5А'2) 14(n + l)V 2 2^
3 35п2 + 112п + 93 д3 Г3п + 7Д Т
Аб 15А(4) 9 2In +29
7 2 7 п +1 2
45 7п + 10 /2 14 п+1 2
3 35п2 + 112п + 93
і , n9 A2 о 1 A2JnI 7 (п+1)2 п+1
7 (п+1)2
4
4т — - 4' -I- 4" — — 4'"4-Ат 2 6 + 22 5 11 4 +
35 (4) 7 (5) 21 Hn+ 31
33 A3 44А2 n A2Jn,*
9 385n2 + 1728n + 1919 л2т
A7 2J 7П + I0A2A» 2 п+1 22
IAn + 19 п+1 2
9 35п2 + 112п + 93 л2 л,
22 („+I)2
"і 13Tl4I1(10^21O - 35А'2^ + 21А2'/0) 11(п + 1)
9 І і 1\2 2А2
^ (п+1)
4A2
Теорема 5. (классификационная). Множество уравнений (1.2) распадается на п — 1 классов (табл. 20).
и т. д.,
1п,п-з(А) = иП1п^п-з(В), I0 = Jn д = ... = 1п,п-4 = 0, 1п,п-3 Ф О,
(11"-2)
і0 = ЛгД = ••• = In,n-i = In,n-3 = 0. (II™-1)
В случаях (II™-2) и (II™-1) (1.2) и (1.3) эквивалентны.
В табл. 19 приведены выражения для псевдоинвариантов, впервые вычисленных Форсайтом (Forsyth [310]) и модифицированных Бриоски (Brioshi [281]). Кроме того, в ней приводятся соответствующие выражения для условных инвариантов.
Таблица 19
182
Глава 3
Таблица 20
Класс
Инварианты
Преобразование
п-1 у = U 2Z,
dt = udx
Каноническая форма Форсайта
Yo
Основная (-Fo), зависит от п — 2 параметров
Yk,
І0 = In,l = . . . = — In,k-1 = 0
Вырожденная (Fk), зависит от
к = 1, п — 3
In,к — Jn,k Ф 0
п — к — 2 параметров
І0 = In1I = ¦ ¦ ¦ =
lu" 3 (u'Y 2 и 4 ^ и j
Простейшая
Yn-I
вырожденная (Fn-^) :
= In,n-3 = 0
3 Л п + 1
z{n) = 0
Здесь имеем
^W+E ( fc)/*o*(n-fc)(*) = 0, (F1O)
где /зо = Ш)и-3, Ао = -6U-5I0(A) + I4,iu-4,
z{n)(t)+it(nk)f^zin~k)^=0>
fe=4 ^ '
ГДЄ /4і = 74д И-4 И Т. Д.
В силу способов построения (см. табл. 18, 20) между каноническими формами Альфана и Форсайта устанавливается взаимнооднозначное соответствие.
Резюмируя результаты по задаче эквивалентности Альфана, приходим к следующей теореме.
Теорема 6. Следующие условия равносильны: а) уравнения (1.2) и (1.3) эквивалентны;
б) оператор L допускает факторизацию (1);
в) инвариант Лагерра I0 и псевдоинварианты Jn^ уравнений (1.2) м (1.3) связаны между собой п — 2 соотношениями (9);
г) уравнения (1.2) и (1.3) приводятся к одной и той же канонической форме согласно классификациям Альфана и Форсайта;
д) абсолютные инварианты Альфана уравнений (1.2) и (1.3) совпадают.
Данная теорема схематически представлена на рис. 7.
7. К вопросу о нахождении инвариантов для уравнения 7Ї-го порядка 183
а
в г
Рис. 7.
Отметим также классический результат о формах Форсайта (Лагерра— Форсайта) одноименного типа.
Предложение 3. Если замена переменных (х, у) —> (?, z) преобразует одну каноническую форму в другую, тогда существуют постоянные a,b,c,d и е такие, что
у=---Zi t=——^ ad-ЬсфО. (12)
• Формулы (12) получены при интегрировании уравнения КШ-3 вида {t,x} = 0. •
7. К вопросу о нахождении инвариантов для уравнения п-го порядка
Для нахождения инвариантов уравнения п-го порядка успешно применяются как дифференциальный алгоритм Евклида, так и дифференциальный результант. Мы продемонстрируем данный подход на примере инварианта Лагерра Iq. Ранее (п. 2) он уже строился с помощью дифференциального алгоритма Евклида для уравнений порядка п = 3. Найдем этот инвариант для любого п. Можно искать Iq как условие совместности системы (6.71), (6.72).
Для упрощения вычислений, но без потери общности, рассмотрим соответствующую упомянутой выше систему
