Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Возникает интересный вопрос: может ли каждое однородное G-пространство быть представлено в такой форме? Следующая теорема дает положительный ответ на этот вопрос.
теорема 1. Пусть G — локально компактная топологическая группа со счетным базисом, действующая транзитивно на локально компактном хаусдорфовом пространстве Г. Пусть у — любая точка в Г, a H — подгруппа в G, которая оставляет у неизменным. Тогда
1° H замкнута,
2° отображение
gH->gy
является гомеоморфизмом из GIH на Г.
(Доказательство см. в [390], гл. II, теорема 3.2.)
Теорема также справедлива для однородных пространств правых классов смежных элементов H\G.
Однородные пространства играют важную роль в теории представлений. Мы используем их для построения индуцированных представлений различных групп (гл. 16).
§ 2. Симметрические пространства
В этом параграфе мы рассматриваем специальный класс однородных пространств, фундаментальная группа G которых является группой Ли.
Пусть G — связная группа Ли, и пусть с — инволютивный автоморфизм в G (т. е. о2 — 1, о ф 1). Пусть G0 — замкнутая 156
Глаеа 4
подгруппа в G, состоящая из всех точек из G, инвариантных при о, a G1a — компонента единицы в Ga. Пусть H — замкнутая подгруппа, такая, что G0 id Я id G1a. Тогда мы говорим, что GIH — симметрическое однородное пространство (определенное по с). Если мы обозначим через о инволютивный автоморфизм алгебры Ли L группы G, индуцированный автоморфизмом с, то в силу рассуждений, приведенных в гл. 1, § 6 [формулы (9)—(13)], получаем
L = Ki-P, (1)
К = \Х ^L: о(Х) = Х} (2)
и совпадает с подалгеброй, соответствующей подгруппе Я, а
P= {X?L: о(Х) = — Х\. (3)
Очевидно, что мы имеем (см. теорему 1.6.2)
[К, К] CT К, [К, Р] CT Р, [Р, Р] с= к. (4)
Двухточечную функцию / (х, у), которая удовлетворяет условию
/(&*, ёУ) — f(x> У). х, у ? Г, g?G, (5)
мы называем инвариантом симметрического пространства.
Ранг симметрического пространства GIH определяется как размерность максимальной абелевой подалгебры в P при разложении (1). Это понятие имеет большое значение в теории представлений, поскольку оно дает число алгебраически независимых инвариантных дифференциальных операторов в пространстве L2(GIH) (см. теорему 15.1.1).
Пример 1. Пусть G = SO (п 1), и о определено формулой o(g) = SgS~\ g^G, (6)
где
—1
О
5 =
0I
/J'
(7)
a In — единичная матрица в Rn. Находим, что G0 = SO (п) и совпадает с ее компонентой единицы. Поэтому H = SO (п). Симметрическое пространство Г = SO (п + 1)/S0 (п) гомеомор-фно я-мерной сфере S". Действительно, группа G = SO (п + 1) действует транзитивно на многообразии Sn, заданном уравнением
(л:1)2 + (л:2)2 + . . . + (л"+1)2 = 1. (8)
Транзитивность сферы Sn но отношению к группе SO (п + 1) следует из того факта, что любой вещественный вектор а* = Однородные и симметрические пространства
157
= (aj, а2, ..., хп+1), удовлетворяющий уравнению (8), может быть получен из вектора е1 = (1, 0, 0, ..., 0) с помощью матрицы вращения g (а) с первым столбцом g\ (а) = >;'. Следовательно, любые два вектора а', а" ? S" могут быть связаны один с другим матрицей вращения g = g (a') g_1 (х"). Подгруппа в SO (п 4- 1). которая оставляет точку а = е1 ? S'1 инвариантной, изоморфна H0 = SO (я). Поэтому, согласно теореме 1.1, отображение
?# > ge1 (9)
является гомеоморфизмом из SO (я + 1)/S0 (я) на Sn.
Разложение Картана алгебры Ли группы SO (я -f- 1) задается формулой
so (я -j-1) = so (я) -j- P-
Поскольку P натягивается на элементы Alli „+1, ..., Mlh „+1, из коммутационных соотношений видно, что максимальная абе-лева подалгебра в P одномерна. Поэтому ранг пространства Sn равен единице.
теорема 1. Каждое однородное пространство GlH, где G — группа JIu, a H — компактная подгруппа, допускает инвариантную метрику.
Доказательство. Пусть о — точка в GIH, представляемая классом смежных элементов Я, а Я —- группа линейных преобразований касательного пространства T0 (GIH), индуцированных элементами из Я. Поскольку Я компактна, то Я также компактна, и рассуждения, аналогичные рассуждениям в § 3.8 [формула (3.8.2) ], показывают, что существует положительно определенное внутреннее произведение в T0 (GlH) (назовем его g0), которое инвариантно при Я. Для каждого у ? GIH мы берем элемент А ? G, такой, ЧТО А (о) = у, и определяем внутреннее произведение gv в Ty(GIH) формулой gv(X, Y) = go (X-1X, X-1Y), X,Y ? ? Tv (GIH). Множество X точек х ? G, которые переводят о в у, порождает левый класс смежных элементов в G относительно Я. Метрика gv не зависит от выбора элемента х, ? X. Действительно, если а, у ? X (т. е. x~ly = h ? Я), то
g0(ylX, y-*Y) = g0(h~*xr*X, K-1X-1Y) = g^X, x-W).
Так же легко проверяется то, что так полученная риманова метрика инвариантна относительно G.
Пусть G — связная группа Ли, a GIH — симметрическое однородное пространство с компактным Я. Пространство GlH, 158
Г лава 5
снабженное G-инвариантной римановой метрикой, заданной в теореме 1, называется глобально симметрическим римановым пространством. Согласно формулам (1)—(4), мы можем сопоставлять с каждым глобально симметрическим римановым пространством GIH пару (L, о) со следующими свойствами:
