Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что матричная форма (11) оператора Tx зависит от выбора базиса в пространстве Я. Если U — унитарный оператор, отображающий Я на себя, и если h; = Uei, і = 1, 2, ..., N, то базис \hi\i ортонормировап и
W1D(X)U (13)
является матричной формой оператора Tx в новом базисе. Здесь матричные элементы Uii оператора U = {Uij] имеют вид
Url = (Uei- ег) = ihi' сІ)-
Действительно,
Dft (X) = (TxUeh Uei) = (TxUeh es)(es, Uei) =
== (Ueh Tles) (es, Uei) = (Uei,ep)(ep, Tles) (es, Uei) =
= UfsDsp (x) Upj.
Унитарный оператор Tv представляется унитарной матрицей [Dii(X)] только в том случае, когда базис ортогонален. Представления групп
173
Пусть T — матричное представление топологической группы G в гильбертовом пространстве Я. Рассмотрим отображения
t" ,. — т 'Г
і А —> і X — I X-»,
Х—>1Х = 1Х =/j, (14)
ЗО T 'Tl*
Л — > 1 X = і X-1-
Легко проверить, что любое из отображений (14) определяет представление группы G. Например,
Te = I и Txy = Tlxuri = (TVJVO* —
Непрерывность отображений (14) следует из того факта, что операции «Т» и «*» непрерывны.
Представления (14) 1°, (14) 2° и (14) 3° называют контрагра-диентным, сопряженным и сопряженно-контраградиентным представлению T соответственно. Для унитарных представлений контраградиентное и сопряженное представления совпадают.
§ 2. Эквивалентность представлений
Пусть х Tx — представление топологической группы G в гильбертовом пространстве Я. Пусть S — ограниченный изоморфизм из Я на гильбертово пространство Я'. Тогда 'отображение ф: X -*¦ Т'х = STxS'1 определяет представление группы G в Я'. Действительно,
Txy = STxS-1STyS-1 = TxTyt Te = I (1)
и
Il TxU - TyU I = Il S (TxS-1U - TyS-1U )|| <
< ISIIlТхи — ТуиI —>0 при х-*у.
Таким образом, отправляясь от заданного представления х -*¦ -*¦ Tx группы G, можно построить целый класс новых представлений, действующих в одном и том же или изоморфных пространствах. Однако эти представления не являются существенно различными. Поэтому мы собираем их в один класс представлений, используя понятие эквивалентности представлений.
Определение 1. Представление х ->- Tx топологической группы G в гильбертовом пространстве Я эквивалентно представлению X ->- Т'х в Я', если существует ограниченный изоморфизм S из Я на Я', такой, что
STx = TxS для всех x?G. (2) 174
Г лава 5
В этом случае мы будем писать Tx =^ Tx. Эта операция рефлексивна, симметрична и транзитивна. Это означает, что
і ~ і =ф-1 ~ і , (o)
T ^ T' и Г ^ Т" => T ~ 7""'.
Поэтому она является отношением эквивалентности. Следовательно, она разбивает множество всех представлений группы G на непересекающиеся классы эквивалентных представлений.
Дальше мы вводим более узкое понятие унитарной эквивалентности двух представлений в гильбертовых пространствах Я и Я'.
Определение 2. Два представления х ->- Tx в Я и х -»- Tx в H' унитарно эквивалентны, если существует унитарный изоморфизм U: H -»- Я', такой, что UTx = TxU для каждого
X QG.
Пример 1. Пусть Tl и Tr — левое и правое регулярные представления группы G. Инволюция /: и (х) и (л--1) определяет унитарное отображение из Я на себя. Мы имеем
(IT1Ju) (у) = (7» (У1) = и (х'!Ґ) = (Iu) (X-1Ij) . (TlxIu) (у). Поэтому
ITx = TlI.
Утверждение 1. Два эквивалентные унитарные представления унитарно эквивалентны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Взяв сопряжения от обеих частей соотношения (2), получаем
TxS* - S*TX. (4)
Следовательно, из (4) и (2) имеем
SS-lTx = STxS* ¦= TxSS*,
т. е. каждый Tx коммутирует с положительным эрмитовым оператором SS* и поэтому также с A = I-aSS'*. Оператор /!"1S является унитарным оператором, который удовлетворяет условию (2). Действительно,
A-1ST --= Л"г7'5 = T'A 1S.
Поэтому T и 7" унитарно эквивалентны.
Два эквивалентных унитарных представления х Tx в Я и X Tx в Я' могут быть описаны одними и теми же матрицами при надлежащем выборе базисов в Я и Я'. Действительно, пусть Представления групп
175
S — изоморфизм из Я на Я', такой, что STx = TxS, и пусть \єі\і, N < оо, — базис в Я. Тогда, взяв в качестве базиса в Я' множество [et = Se1-jf, получаем
Tjj = Dii(X)Ci (5)
Dii (X) с- = Tyl = TxSei = STx^ = SDij (х) d = Dij (х) е-,
т. е. обе матрицы совпадают.
Пусть TwT' — представления группы GbHwH' соответственно. Ограниченный оператор S из Я в Я' называется переплетающим. оператором для T и T', если STx = TxS для каждого X Q G. Множество всех переплетающих операторов образует линейное пространство, которое обозначаем через R (Т, T'). Утверждение 1 может теперь быть переформулировано так: два унитарные представления T и T' эквивалентны тогда и только тогда, когда в R (Т, T') существует унитарный оператор из Я на Я'.
Заметим, что при T = T' R (Т, Т) — алгебра. § 3. Неприводимость и приводимость
Пусть X ->- Tx — представление топологической группы G в гильбертовом пространстве Я. Подпространство или подмножество H1 пространства Я инвариантно (относительно Т), если и Q H1 предполагает, что Тхи Q H1 для каждого х Q G.
