Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
I OapW I < ехр [С + CT (X)],
где с — константа.
§ 9.4. Покажите, что инвариантная мера на группе SO (3) для двух различных параметризаций (упражнения к § 2.6 и §2.8) имеет вид
d^ = -gsffsme chpdGdif, (30)
dg (ее, n) =^dwsin2-J-dee. (31) 152
Г лава 5
§ 9.5. Покажите, что инвариантная мера на SU (2) совпадает с
1 ...... , (32)
Указание. В
положите
dIa = sln^ d^ dMidv-
8 =
а
-Ъ а
а =- ехр [і (р b = exp[i(p § 9.6. Покажите, что
v)/2J cos g/2, -v)/2] sing/2.
dg(«) = n 6 I u) — 1 П Auh
0
1=0
dg(v) = jT26 (det V - 1) П do,,
?=0
З
dg (ici) = л~2б (det w — 1) П Awl
(33)
(34)
(35)
— инвариантные меры на SU (2), SU (1, 1) и SL (2, R), соответствующие параметризациям (1), (4) и (7) соответственно.
§ 9.7. Пусть G = T2 х) SO (2). Покажите, что с помощью параметров X1, х2, а, где х = (хх, х2) ? T2 и а ? SO (2), О с с а < 2я, инвариантная мера записывается в виде
dp (х, а) = dxr dx2 da.
(36)
§ 9.8. Покажите, что инвариантная мера на группе Пуанкаре G = T4 х) SL (2, С) имеет вид
dg = d% dg,
(37)
где d"a — мера Лебега на Ri, а dg — инвариантная мера на SL (2, С), заданная формулой (2.3.9).
§ 9.9. Пусть G = Z, т. е. подгруппа нижних треугольных комплексных матриц из GL (я, С); ее элементы являются матрицами вида
1
z =
Z2J
С-'
1
О
zi'i = хч Ь '//¦'/• Ukj € R¦ Группы JIu
153
Покажите, что инвариантная мера Хаара на Z совпадает с евклидовой мерой на С"'"^1)/2, задаваемой формулой
Указание. Как в примере 9.1, найдите закон композиции для Z.
§ 10.1. Пусть G = GL (я, С). Покажите, что экспоненциальное отображение exp X, X ? L, покрывает всю группу G.
Указание. Используйте форму Жордана произвольного элемента g ? GL (я, С).
§ 10.2. Покажите, что G = GL (я, R) не может быть покрыто экспоненциальным отображением.
Указание. Рассмотрите диагональную матрицу, в которой все матричные элементы отрицательны.
it
dp (г)= П dx/dykj.
к ¦ Л '
(38) Глава 4
Однородные и симметрические пространства
§ 1. Однородные пространства
Пусть Г — топологическое пространство, a G — топологическая группа. Мы говорим, что G — топологическая (левая) группа преобразований на Г, если выполнены следующие условия:
1° С каждым g ? G сопоставляется гомеоморфизм у -> gy из Г на Г.
2° Единичный элемент е группы G является тождественным гомеоморфизмом на Г.
3° Отображение (g, у) -> gy из GxT в Г непрерывно.
4° Y = fiifev) Для gt, g2 ? G и у € Г.
Топологическое пространство Г, на котором действует G, называется G-пространством.
Мы говорим, что G действует транзитивно на Г, если для каждой пары точек Y1, Y2 € Г существует элемент g ? G, такой, что Y2 = ^Yi- Если е — единственный элемент в G, который оставляет каждую точку f Г неизменной, то говорят, что G действует эффективно на Г, и G называется эффективной.
Из определения 2.2.4 следует, что хаусдорфово пространство Г однородно, если G действует на Г транзитивно.
Подгруппа в G, которая оставляет точку Y € Г неизменной, называется стационарной (изотропной, малой) группой точки Y-Если Hy — стационарная группа точки Y и y' — ?Y> то стационарной группой точки y' является группа Ily' = gHyg"1. Поэтому стационарные группы любых двух точек однородного пространства Г изоморфны.
Важной реализацией однородного пространства служит фак-тор-пространство GlH. Действительно, пусть G — топологическая группа, H — замкнутая подгруппа в G, a GlH — семейство левых классов смежных элементов хН, х ? G. Определяем топологию на пространстве GIH посредством канонического проектирования л: G Э X -*¦ хН ? GlH; именно, мы говорим, что множество X сі GIH открыто в G /Я, если л-1 (X) открыто в G. Легко проверить, что такой набор открытых множеств определяет хаусдор-фову топологию на GlH. Если каждому g ? G мы предписываем отображение g: хН ->¦ gxH, то G становится транзитивной топологической группой преобразований, действующей на GlH, и, следовательно, GIH — однородное пространство. Эти утвержде- Однородные и симметрические пространства
155
ния проверяются, используя непрерывность группового умножения в G.
Группа G действует эффективно на GlH тогда и только тогда, когда H не содержит нормальной подгруппы N группы G. В самом деле, если N с: H — нормальная подгруппа в G, п Q N и X ? G, то х~гпх = п' ? N и пхН = хп'Н = хН, т. е. каждому п ф е соответствует тождественное преобразование. Чтобы доказать вторую часть утверждения, заметим, что по условию 2° множество N элементов п Q G, которые удовлетворяют условию пхН = хН для каждого х Q G, порождает подгруппу в G. Для каждых х, g ? G, п QNnh Q H имеем [gng'1) хН = хН и (htili1) H = H. Поэтому N — нормальная подгруппа в G, содержащаяся в Я.
Это построение показывает, что каждое фактор-пространство GIH топологической группы G по замкнутой подгруппе H является однородным пространством. В частности, если H = {е\, то G само однородное пространство.
Аналогично однородное пространство {Hgl правых классов смежных элементов обозначаем символом H\G.
