Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
п
df
у-2
eJLix">- <2)
1=1
Набор всех касательных векторов в р образует n-мерное векторное пространство. Касательные вектора
Mrttf)
, i=l,2.....ft, (3)
X1=Xt (P)
образуют базис касательного пространства в р.
Доказательство. Если действие отображения L задается формулой (2), то очевидно, что L — касательный вектор. Для доказательства того, что действие любого касательного вектора задается формулой (2), заметим, что если / = const, то Lf = 0. Разлагая /* в окрестности точки X (р)
/* = A0 + Aj (Xі - X1 (P)) у .. - - f ап {Xn + X" (р)) +
+ t Uc - Xі (P)) (Xі - Xi (P)) gu + . . ., і. /=1 Группы JIu
103
где
df*
Ui =—г 1 дх
= ~Т> giitA(P)> ¦ ; , дх1
X1=X1 (р)
получаем
Lf = Ci1Lix1) + ... ^anL (х'% (4)
что эквивалентно (2).
Множество касательных векторов Li (р), определенное формулой
МЖЯ =-Я. . 1=1,2,...,/1,
х 'Xi=Xi (P)
образует базис касательного пространства в р. Действительно,
1=1
поэтому Li(P) линейно независимы. Более того, если L (р) — любой касательный вектор, то, согласно (2),
L (р) (х>) =El (л1') L1 (P) (А / = 1, 2, ..., п, 1=1
т. е.
L=ZL(Xi)Lc(P)- (5)
i=l
Поэтому касательное пространство в р является n-мерным векторным пространством.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Отображение, которое каждой точке р Q M аналитического многообразия M ставит в соответствие касательный вектор X (р) в р, является векторным полем X на М.
Векторное поле X иногда называют инфинитезимальным преобразованием. Говорят, что векторное поле X на M аналитшно в р, если для любой аналитической в р функции / функция Xf аналитична в р; говорят, что оно аналитично на M, если оно ана-литично в каждой точке р ? М. Операторы L1- из формулы (3) представляют собой простейшие примеры аналитических векторных полей. Действительно, пусть (U, ф) — карта точки р М, и пусть f — аналитическая в р функция. Тогда, выражая /* = = f ° ф-1 как функцию /* (л1, г2, ..., хп) координат
ф(<?) = (*1^), X (Я)-----Xn(Q)}, q?U, 104
Глава З
и полагая
Li (р) f = —j , (6)
дх
X1=X1 (р)
получаем, что отображение р ->- Li (р) аналитично.
Если А — векторное поле, определенное на U, то в силу (3)
п
A (P) =L a' (P) Li(P), (7)
1=1
где ас, t'=l, 2, ..., п, —функции, определенные на U и заданные формулой а' = Axc. Следовательно, если а1, і = 1, 2, ..., п — функции, определенные и аналитические на U, то A = ^ a'Li — аналитическое векторное поле на U. Для каждой точки р ? U имеем
df*
S J <„)-?! _ . (8)
дх1
Xt (р)
п
Поэтому можем представить векторное поле А символом ^ а*'-
о функциях a*' а' « ср 1 говорят,"что они являются компонентами поля А относительно координат х1, х2, ..., хп.
Из определения 4 следует, что если X и Y — векторные поля, то аХ -f ?F, а, ? G R, также векторные поля. Поэтому набор всех векторных полей образует вещественное векторное пространство. Это векторное пространство бесконечномерно. Это следует из того факта, что мы не можем ввести конечного множества базисных функций для компонент а{ (р), которые появляются в (7).
Согласно определению 4, векторное поле X может рассматриваться как отображение X: Cco (M) ->- Си (M). Поэтому определено произведение XY двух векторных полей. Однакових произведение XY не является в общем случае векторным полем. Например,
если M = Rn, А = B = то ABf = ^^r / и отображение
дЧ*
I-
дх1 дх2
X1=X1 (р)
не является касательным вектором к R'1. Однако в векторном пространстве аналитических векторных полей произведение можно ввести таким образом, что это пространство превращается в алгебру Ли; именно мы можем сопоставлять с аналитическими векторными полями А = 2a'L; и B = HbiLl объект С:
C = AB- DA = [Л, В], (9) Группы JIu
105
который называется произведением Ли или коммутатором полей А и В. На языке локальной системы координат Jx1, г2, ..., хп\ в р имеем
AT = Va1(X)^t Bf=Vb4(X)^,
' L^ к ' дх' дх
er = У (ьд~а~ - ^l] X. (Ю)
./J \ дх1 дх1 / дх'
I-
Поэтому если А и В — аналитические векторные поля, определенные на многообразии Mt то, согласно (10), их коммутатор [А, В \ также является аналитическим векторным полем, определенным на М.
Операция коммутирования (9) имеет следующие свойства:
Г [аЛ - Ь fSB, С] = а [/1, С] + ? [В, С], а, ? G Rt
2 \Л, П\ [В, Al, (11)
3° IAt [В, Cj] f [С, [А, В]\ + [В, [С, Л]] = 0.
Следовательно, мы видим, что набор всех аналитических векторных полей на аналитическом многообразии является бесконечномерной вещественной алгеброй Ли.
Б. Преобразование векторных полей
Пусть M и N — два дифференцируемые С^-многообразия, а ?2 — отображение MbN. Отображение ?2 '.дифференцируемо в р Q Mt если ?2 G С°° (р) для каждого / ? С°° (?2 (р)). Отображение ?2 дифференцируемо, если оно дифференцируемо в каждой точке р Q М. Аналогично определяются аналитические отображения.
Пусть ф: q -*¦ (х1 (q), ..., хт (q))— система координат в окрестности U точки р Q Mt а ф': г -*¦ (у1 (г), ..., у" (г)) — система координат в окрестности U' точки ?2 (р) в Nt и пусть ?2 (U) с U'. Отображение ф'° ?2 °ф-1: ф (U) -*- ф' ((/') задается системой п функций
