Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий важный пример односвязной группы будет использоваться на протяжении всей книги.
Пример 6. Пусть G — унитарная унимодулярная группа SU (2). Элемент g группы можно параметризовать посредством
'a b
d
(6)
а с ' d ~b
, g-1 -
Ь d_ — с а
Поскольку
условие унитарности g* = g~ подразумевает, что
d = а и с = — Ь.
Следовательно, условие унимодулярности ad — be записать в виде
аа -j- і
1.
что
i-2 I
(7)
1 можно
(8)
групповое
if + Z2 +
Полагая а = х + \у и b = z + it, заключаем, многообразие SU (2) совпадает с поверхностью х" + f = 1 трехмерной сферы S3. Поскольку всякий замкнутый путь на S3 можно стянуть в точку, группа SU (2) односвязна.
Дискретный центр в SU (2) представлен подгруппой D
D= {/,-/}. (9)
Фактор-группа SU (2)/D представляет двухсвязную группу вращений SO (3). Таким образом, групповое многообразие SO (3) получается в результате отождествления противоположных точек сферы S3.
Равномерная непрерывность
Говорят, что комплексная функция <р (х) на R1 равномерно непрерывна, если для всякого е > О существует б > 0, такое, что
|ф(х) — <р(х + г)/<є, как только |z|<6. (10) Топологические группы
89
Это понятие имеет естественное обобщение на комплексные функции, определенные на групповом многообразии.
Говорят, что комплексная функция <р (х), заданная на топологической группе G, равномерно непрерывна слева, если для произвольного є > 0 существует окрестность V единицы ев G, такая, что для х~ху Q V имеем
IФ (*) — Ф (У) 1 < ® (или I <р (а) — ф (xz) I < є, как только z ? V). (11
Аналогично мы говорим, что <р (х) равномерно непрерывна справа, если для любого є > 0 существует окрестность U единицы е, такая, что для Xtf1 Q U имеем
I<р(х) — ф(#)|<є (или Iф(х) — ф(гх)I<є, как только zQU). (12)
О функции, равномерно непрерывной как слева, так и справа, говорят, что она равномерно непрерывна.
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть G— топологическая группа, и пусть S — компактное подмножество в G. Тогда непрерывная функция ср, определенная на S, равномерно непрерывна на S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку ф непрерывна, для всякого є >0 существует для каждой точки у Q S окрестность Vy единицы е, такая, что если х Q S и ху"1 Q Vy, то | ф (х) — ф (у) | < є/2. Пусть Wy — окрестность единицы е, такая, что W2y с: Vy, набор открытых множеств Wy у покрывает S, а поскольку S компактно, МЫ можем выделить конечное покрытие. Пусть j Wy ylYl — ко" нечный набор открытых множеств, который покрывает S, и пусть
Теперь, поскольку множества WljXji покрывают S при х, у Q S, ХУ~1 € V, существует число k, такое, что yylx Q W!/Jt, и поэтому
IФ (//) ~ Ф Ы I < е/2. Далее,
хуТ1 = хіГ'ууҐ Q VWljk с= Wlk с= Vyk,
так что I ф (х) — ф (///,) I <[ є/2; таким образом, получаем
I Ф (*) — Ф (У) I < I Ф (*) - Ф ЫI + I Ф (У) — Ф (Ун) I < е-Следовательно, при х ? S ф (х) равномерно непрерывна справа. Аналогично показывается равномерная непрерывность слева функции ф (х) на S.
Понятие непрерывности слева или справа естественным образом распространяется на функцию ф (х) на G со значениями в топологическом векторном пространстве Н\ например, если H — гильбертово пространство, то говорят, что ф (х) равномерно не- .<4
Глава 1
прерывна слева, если для любого є > 0 существует окрестность V единицы е, такая, что
Il Ф (*) — Ф (у) ||н < б, как только х^у ? V. (13)
§ 3. Мера Xaapa
В этом разделе вводится важное понятие инвариантной меры и инвариантного интегрирования на топологической группе G. Пусть G — локально компактная группа, и пусть C0 (G) и Go (G) обозначают пространства непрерывных и непрерывных неотрицательных функций на G с компактным носителем соответственно. Положительная мера Радона — это положительная линейная форма ц на C0 (G), неотрицательная на Со (G), т. е.
р(/)>0 для feCt (G). (1)
Положительная мера Радона р, инвариантная слева, т. е.
P(Tgf) = V(/)¦ гДе TLef(X) = /(g~4 х, g?G, (2)
называется левой мерой Xaapa (или левым интегралом Хаара).
Аналогично определяется правая мера Хаара К, удовлетворяющая условию
К (T«f) = X(f), где TRgf (X) = /(xg), х, g?G.
ТЕОРЕМА 1. Всякая локально компактная группа обладает левой мерой Хаара р. Если v — любая другая ненулевая левая мера Хаара, то v = ср при некотором положительном числе с.
(Доказательство см. в [405], гл. IV, § 15.) Пусть G — локально компактная группа с законом умножения ху, и пусть G* — новая группа с теми же элементами и той же топологией, но с новым законом группового умножения X X у, определенным согласно
X X у = ух. (3)
Если G* имеет левую меру Хаара р, заданную согласно теореме 1, то G имеет и правую меру Хаара: действительно, для g* ? G* имеем
(TLe X /) (X) = / (g*-1 Xx)=/ (xg-1) = (х),
значит,
К (Tgf) =E P (T«f) = P (T^-J) = P (f) я (/), (4)
т. е. X — правая мера Хаара. Следовательно, существование левой меры Хаара подразумевает существование правой меры Хаара (см. также упражнения 4 и 6). Поэтому ввиду теоремы 1 каждая локально компактная группа имеет также и правую меру Топологические группы
