Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы определяем аналитическую структуру на хаусдорфовом пространстве M подобным образом: просто заменяем условие дифференцируемое™ отображения фрфй1 условием его аналитичности.
Хаусдорфово пространство M с дифференцируемой (аналитической) структурой размерности п является дифференцируемым (аналитическим) многообразием размерности п.
Евклидово пространство Rn представляет собой простейший пример аналитического многообразия. Карта (Ua, <ра) определяется открытым множеством ''Ua = Rn и гомеоморфизмом фа, который предписывает точке p f Ua ее декартовы координаты Фа (P) — (х1 (р), X2 (р).....хп (рУ). Это аналитическое многообразие будем обозначать через Rn.
Пример 1. Рассмотрим двумерную сферу S2 ^единичного радиуса, вложенную в R3 с центром в (0, 0, 0). Введем набор карт на S2 посредством стереографических проекций. Рассмотрим первую стереографическую проекцию с центром в южном полюсе s с координатами s = (0, 0, —1) на плоскость, проходящую через экватор. Она представляет собой гомеоморфизм проколотой сферы (т. е. сферы без южного полюса) в евклидову плоскость R2.
Если (х, у, г) —декартовы координаты точки р ? S2, то ^ | ,
[ ^ z ^ — декартовы координаты ее проекции на плоскость.
Взяв произвольную точку s' ? S2 в роли «нового южного полюса» и использовав стереографическую проекцию, получим новую локальную систему координат. Легко проверить, что координаты точки q ? S2\{s} f| S2Xls'| в первой и второй локальных системах координат связаны между собой аналитическим преобразованием. Следовательно, набор локальных карт, построенных с помощью стереографической проекции с центром в каждой точке сферы Sa,
1J Символ <р • г|) (г) обозначает композицию отображений -фиф, где ф
следует за ij), т. е. ф [i|) (г)]. Группы JIu
101
удовлетворяет условиям 1° и 2° определения 1 и определяет аналитическую структуру на S2.
Комплексное аналитическое многообразие размерности п определяется аналогичным образом. В определении карты Rn заменяется на С", а условие 2° определения 1 заменяется условием: отображение фр°фа1 является голоморфной функцией координат Z1 (р), і = 1, 2, ..., п, точки P Q Ua П ^p-
Ниже под аналитическим многообразием мы будем понимать аналитическое вещественное многообразие.
Вещественнозначную функцию / на аналитическом многообразии M называют аналитичной в р Q М, если существует карта (Ua, фа) с р Q Ua, такая, что / • ф«1 является аналитической функцией на множестве q>a (Ua). Функцию / называют аналитичной, если она аналитична в каждой точке р Q М. Если мы ограничим аргумент р функции / на подмножество N с: М, то получим вещественнозначную функцию, определенную на N\ ограничение функции / до N обозначаем через /| N.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если заданы два аналитические многообразия M и Af, то мы говорим, что N — аналитическое подмногообразие в М, если
1° N с; M (теоретико-множественно),
2° для любой карты (Ua, фи)а?Л с фа (р) = (х1 (р), х :(р), ... ..., Xn (р)) функции xl\N аналитичны в N, и для каждой точки р Q N, в которой они определены, можно выбрать подмножество (.it'iIN, Xі"j N, ..., X1V J N), которое образует карту точки р.
Множество Rm в R", т <п, большие окружности в S2 (см. пример 1) и S2 в Rsjf представляют собой простые примеры подмногообразий.
Пусть MuN — два аналитические многообразия размерности тип соответственно. Построим произведения этих многообразий. Рассматривая MuN как хаусдорфовы пространства, мы можем образовать их топологическое произведение, которое состоит из упорядоченных пар (р, q), р Q М, q Q N.
Топология в MxN определяется как топология произведения. Аналитическая структура на многообразии MxN определяется естественным образом с помощью аналитических структур на M и N следующим образом. Пусть (Ua, Ц>а)ае_д и %)[!<= в — наборы карт, определяющие аналитические структуры на M и N соответственно. Через ФаХі^р, а Q А, § Q В, обозначаем отображение (р, q) ->- (фа (р), -фр (q)) произведения открытых множеств UaXVp в Rm+n. Тогда набор (UaXVii, ц>ах%) карт на произведении MxN удовлетворяет условиям 1° и 2° и определяет аналитическую структуру на MxN. .<4
Глава 1
А. Касательные пространства и векторные поля
Пусть M — аналитическое многообразие размерности п, р — точка из М, а А (р) — класс функций, аналитических в р.
Определение 3. Говорят, что отображение L: f (р) ->- R, f (: А (р), является касательным вектором в р, если удовлетворены следующие условия:
Г. L(а/+ pg) = + а, р/, g?A(p).
2°. L(fg) = L(f)g(p) + f(p)L(g),
т. е. если L ¦— линейный функционал и дифференцирование.
Если LhL' — касательные векторы, то etL + ?L' также касательный вектор. Поэтому множество касательных векторов образует линейное векторное пространство над R, которое называется касательным пространством.
Пусть (U, ф) — любая карта точки р. Если функция / анали-тична в р, то функция /* = /° qf1 аналитична в окрестности точки (х1 (р), ..., хп (р)). Для простоты
Xt=Xt (P)
будем записывать как df/dx'.
теорема 1. Отображение L: f (р) ->¦ R, f ? А (р), является касательным вектором в р тогда и только тогда, когда оно задается формулой
