Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Рис.9. Фазовая плоскость Пример 1. Основное уравнение теории
уравнения ж. = —х колебаний
'А = —х.
В этом случае (рис. 9) имеем:
S 4. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
23
Множества уровня энергии — концентрические окружности и начало координат. Вектор фазовой скорости в фазовой точке \х, у) имеет компоненты (у, —х). Он перпендикулярен радиусу-вектору и равен ему по величине. Поэтому движение фазовой точки по фазовой плоскости есть равномерное вращение вокруг 0: X = г0 cos (ф0 — t), у = r0 sin (ф0 —- t). Итак, каждое множество уровня энергии является фазовой кривой.
Пример 2. Пусть потенциальная энергия задана своим графи-
„2
ком (рис. 10). Нарисуем множества уровня энергии -j- + U {х) = Е.
При этом полезно иметь в виду следующие обстоятельства.
1. Положения равновесия системы (2) лежат на оси х фазовой плоскости. Точка х = |, у = 0 является положением равновесия, если S — критическая точка потенциальной энергии, т. е. если dUf dx I ж=* = 0.
2. Каждое множество уровня — гладкая кривая в окрестности каждой своей точки, не являющейся положением равновесия (это следует из теоремы о неявной функции). В частности, если число E — не критическое значение потенциальной энергии (т. е. не равно значению потенциальной энергии в одной из критических точек), то множество уровня, где энергия равна Е,— гладкая кривая.
При исследовании линий уровня энергии следует обращать внимание Ba критические значениями и значения Е, близкие к критическим. При атом удобно представлять себе шарик, катающийся в альной яме U.
и
E3 Еь E5
Рис.
10. Потенциальная анергия и фазовые кривые
потенци-
Например, рассуждение «кинетическая энергия неотрицательна. Значит, потенциальная не больше полной. Чем потенциальная энергия меньше, тем скорость больше» принимает на этом языке вид: «шарик не может выскочить из потенциальной ямы, поднявшись выше уровня, определяемого его начальной энергией. Скатываясь в яму, шарик набирает скорость». Далее, мы сразу замечаем, что точки локального максимума потенциальной энергии — неустойчивые, а точки минимума — устойчивые положения равновесия.
Задача. Докажите ато.
Задача. Из скольких фазовых кривых состоит сепаратриса (восьмерка) кривая, соответствующая уровню E2? Ответ. Из трех.
Задача. Определить время движения по сепаратрисе.
Ответ. Иэ теорема единственности вытекает, что это время бесконечно.
24
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Задача. Докажите, что время движения от X1 до ха (в одну сторону
X,
Задача. Нарисовать фазовые кривые, зная график потенциальной энергии (рис. 11).
Ответ — рис. 12-
а) - S)
Рис. 11. Потенциальная энергия
а) б)
Рис. 12. Фазовые кривые
Задача. Нарисовать фазовые кривые для «уравнения плоского математического маятника»: х = —sin х.
Задача. Нарисовать фазовые кривые для «уравнения маятника, ось которого вращается»: х = —sin х + М.
Замечание. В этих двух задачах х означает угол отклонения маятника. Фазовые точки, координаты которых отличаются на 2л, соответствуют одинаковому положению маятника. Поэтому кроме фазовой плоскости естественно рассматривать фазовый цилиндр {х (mod 2л), у}.
З а д а ч а. Найти касательные к ветвям линии критического уровня, соответствующего максимуму потенциальной энергии, E = U (?) (рис. 13).
Ответ, у = ±V-U" (I) (х - I). Задача. Пусть S (E) — площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответствующей уровню энергии Е. Докажите, что период движения по этой кривой равен
dS dE '
Рис. 13. Линия
критического уровня' энергии
Задача. Пусть E0 — потенциальная энергия в точке минимума | -Найти период малых колебаний в окрестности точки |, T0 = Hm T(E)
E—*Eq
Ответ. 2п/|/ТЛ~(6).
§ 4. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
25
Задача. Рассмотрим периодическое движение по замкнутой фазовой кривой, соответствующей уровню энергии Е. Устойчиво ли оно по Ляпунову?
Ответ. Нет *).
Д. Фазовый поток. Пусть M — точка фазовой плоскости. Рассмотрим решение системы (2), начальные условия которого при t — О изображаются точкой М. Предположим, что любое решение системы продолжается на всю ось времени. Значение нашего решения при некотором значении t зависит от М. Мы обозначим полученную фазовую точку (рис. 14) через
M (t) = g'M.
Рис. 14. Фазовый поток
Таким образом, мы определили отображение фазовой плоскости на себя g*: R2 -*¦ R2. По известным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений отображение g* является диффеоморфизмом (взаимно однозначным и взаимно дифференцируемым отображением). Диффеоморфизмы gf, f ER, образуют группу: gt+s = gl о gs. Далее, отображение g0 тождественное (g°M = = M), а отображение g~* обратно gl. Отображение g: R X R2 -> -> R2, g (t, M) = gfM, дифференцируемо. Все эти свойства вместе выражают короче, говоря, что преобразования gl образуют одно-параметрическую группу диффеоморфизмов фазовой плоскости. Эту группу называют также фазовым потоком, заданным системой (2) (или уравнением (1)).
